二阶常微分方程的几种解法

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1、二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一公式解法目前,国内采用的高等数学科书中,求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高,相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢?事实上,经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。设二阶常系数线性非齐次方程为(1)这里都是常数。为了使上述方程能降阶,考察相应的特征方程(2)对特征方

2、程的根分三种情况来讨论。1　若特征方程有两个相异实根。则方程(1)可以写成即记,则(1)可降为一阶方程由一阶线性方程的通解公[5](3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。再由解得7应用分部积分法,上式即为(4)2　若特征方程有重根,这时方程为或由公式(3)得到再改写为即故(5)例1　求解方程解　这里的两个实根是2,3.由公式(4)得到方程的解是这里.例2　求解方程7解　特征方程有重根1,.由公式(5)得到方程的解是二常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是,　　(6),　

3、　　(7)其中为常数,根构造方程(7)的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7)的通解。特征方程的特征根有三种情况。1.当特征方程有两个不相同的实根时,方程(7)的两个线性无关的解为从而得方程(7)的通解.2.当特征方程有二重实根λ时,可得方程(7)的两个线性无关的解,从而得到方程(7)的通解。3.当特征方程有一对共轭复根时,可得方程(7)的两个线性无关的解e。从而得方程(7)的通解。综上所述可知,方程(7)总有形如、的解,其中为方程(7)所对应的特征方程的特征根。关于方程(6)的求解,我

4、们就为或时进行了讨论,给出了这两种情况下的解法。我们将由方程(7)的一个特解,通过参数变易法构造出方程(6)的通解。首先求出方程(7)的一个特解,不妨将此解记为。7设方程(6)有形为[5]的解,将(其中为,为代入方程(6),得∵是方程(7)的解∴上式为,令,得根据一阶线性非齐次方程的解法,得〕为方程(6)的通解。三　多项式法命题:　对于常系数线性微分方程(8)其中p、q与是常数,是的m次多项式,7若令,则方程(8)可化为:[7]为方程(8)对应齐次方程的特征多项式.此处即要求方程(8)的特解,只

5、要求的特解,而得到(8)的特解.此解法虽然类似教材[5]上的待定系数法,仔细斟酌,要简单很多.教材[5]中则把特解设为,这里k=0、1、2、是m次多项式.例3　求微分方程的一个解.解：,-1为其二重特征根,故原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解是。,从而令,原方程化为:,解之得其特解为故原方程的特解是。原方程的解是,(其中是常数)四　阶数上升法所谓的阶数上升法就是:设　(9)为多项式时,设　[7]此时,方程两边同时对求导倒数,得……7令(),此时　由与通过倒数第二个方程可得,依次往上推,一直推

6、到方程(9),即可得到方程(9)的一个特解,上面的这种方法称为阶数上升法.(9)当时,令,则,代入方程(9),经整理得:于是问题(9)就转化为(8)的形式.从以上可以看出,阶数上升法不需要讨论λ是否为特征方程的特征根的问题,因此问题得以简化.例4　求微分方程的一个解.解:原方程所对应的齐次方程的特根是正1、-7,对应的两个线性无关的解是。在求原方程的特解。先消去,设特解,代入原方程得(10)两边求导得,令、，代入(10)式得，即所以原方程的一个特解为:所以，原方程的解为：(其中为常数)五积分法运

7、用特解公式进行教学,不需要对微分方程的特殊右端进行分类设特解,只需熟悉特解公式就可以求出任意类型的特解.下面我们介绍特解公式.　设λ是共轭特征方程的任一根,则[7]为方程(9)的一个特解,其7表示函数f(x)的一个原函数,积分下限可取任意值.即要求方程(9)的特解先求出共轭特征方程的特征根,任取其一为,再用特征公式求积分,便得到所求特解.例5　求微分方程的通解.解　特征方程的特征根为,所以,齐次方程所对应的两个线性无关的解是,共轭特征方程的特征根为,计算积分可得:　　x即原方程的特解为:所以,原

8、方程的通解解是:(其中为常数)7