二阶常微分方程级数解法

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1、§9.1特殊函数常微分方程（0）拉普拉斯方程u=2u在球坐标系和柱球坐标系中的表达式第九章二阶常微分方程的级数解法本征值问题球坐标与直角坐标的关联：直角坐标域球坐标域2xyod(r,,)zrddrrd(rsin)ddV=(dr)(rd)[(rsin)d]=r2sindrddrsind体积元三个相互正交面的面元方向：dS=dr·rdr方向：dS=rd·rsind方向：dS=dr·rsind34ErozyxEθEφrdrd(rsin)drsindrd56柱坐标xyzoddz

2、zdddV=(d)(d)(dz)=(d)(d)(dz)=dddz(,,z)d89EρEzEφdφdzdρρdφρρ+dρozyx10（一）Laplace方程（1）球坐标系分离变量解代入得到i）径向方程—Euler型常微分方程1314ii）球函数方程：可以进一步分离变量，令方位角θ方向：极角φ方向：球函数方程u=l(l+1),l价连带Legendre方程=[0,π],在两端点cos0=1,cosπ=-1,x=cos=±1的“自然边界条件”构成本征值问题，决定l只能取整数值。17AdrienMarieLegen

3、dreAdrien-MarieLegendre(September18,1752–January10,1833)wasaFrenchmathematician.Hemadeimportantcontributionstostatistics,numbertheory,abstractalgebraandmathematicalanalysis.当m=0时，称为l价Legendre方程：u=l(l+1),l价连带Legendre方程即：注意：因x=cosθ,而θ的变化范围是[0,],所以x的变化范围是[-1，+1]。（2）柱坐标系2u=0试

4、分离变量解:代入2u=0得到:对方向有本征值问题:本征值问题的解:分=0,>0,<0三种情况:(i)ρ方向非齐次边界条件，z方向齐次边界条件，仅当<0有满足z方向齐次边界条件的解,记axyz对方向:m阶虚宗量Bessel方程23(ii)ρ方向齐次边界条件，z方向非齐次边界条件m阶Bessel方程(iii)—Euler型常微分方程R()解的证明在后一页2526（二）波动方程亥姆霍兹(Helmholtz)方程（三）输运方程亥姆霍兹(Helmholtz)方程29HermannvonHelmholtz(August31,1821–Se

5、ptember8,1894)wasaGermanphysicianandphysicistwhomadesignificantcontributionstoseveralwidelyvariedareasofmodernscience.Inphysiology(生理学)andphysiologicalpsychology(心理学),heisknownforhismathematicsoftheeye,theoriesofvision,ideasonthevisualperceptionofspace,colorvisionresearch,a

6、ndonthesensationoftone(音调）,30perceptionofsound,andempiricism(经验论).Inphysics,heisknownforhistheoriesontheconservationofenergy,workinelectrodynamics,chemicalthermodynamics,andonamechanicalfoundationofthermodynamics.Asaphilosopher,heisknownforhisphilosophyofscience,ideasonther

7、elationbetweenthelawsofperception(感知）andthelawsofnature,thescienceofaesthetics(美学）,andideasonthecivilizingpowerofscience.AlargeGermanassociationofresearchinstitutions,theHelmholtzAssociation,isnamedafterhim.（四）Helmholtz方程（1）球坐标系分离变量解：32ii）径向方程：令：上式化成（l+1/2)阶Bessel方程—半奇数阶Bes

8、sel方程：球Bessel方程343536（l+1/2)阶Bessel方程（2）柱坐标系三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离变量后,空间部分满足的是Helmho