专题一(二阶常微分方程解法)

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1、二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是（1）其中是常数。方程（1）的通解为对应的齐次方程（2）的通解Y和方程（1）的一个特解之和。即.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的为如下两种常见形式时求其特解的方法。一、由于方程（1）右端函数是指数函数与次多项式的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为(是

2、某个次数待定的多项式)代入方程（1），得消去，得（3）讨论、如果不是特征方程的根。即由于是一个次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未必为一个次多项式，设为将之代入（3），比较恒等式两端的同次幂的系数，就得到以为未知数的个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这个待定的系数，并得到特解、如果是特征方程的单根。即，但欲使（3）式的两端恒等，那么必是一个次多项式。因此，可令并且用同样的方法来确定的系数。、如果是特征方程的二重根。即，且。欲使（3）式的两端恒等，那么必是一个次多项式因此，可令并且用同样的方法来确定的系数。综上所述，我们有结论如果，则方程（1）的特解形式为其中是与同次

3、的多项式，的取值应满足条件例1求的通解。解特征方程为特征根为齐次方程的通解为因为是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为则将上述三式代入原方程，得，比较恒等式两端的系数，得解得，因此所以方程的通解为二、由于方程（1）右端函数为，这种形式得到非齐次方程的特解的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论其中，、是两个次多项式，，且例2求方程的通解。解特征方程特征根齐次方程的通解为这里，由于不是特征方程的根，所以设方程的特解为代入原方程，得比较两端同类项的系数，得解得于是所以非齐次方程的通解为