9. 二阶常微分方程级数解法

《9. 二阶常微分方程级数解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1特殊函数常微分方程•§9.2常点邻域上的级数解法•§9.3正则奇点邻域上的级数解法•§9.4施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的

2、常微分方程及其定解。我们依然采用分离变量法。§9.1特殊函数常微分方程•（一）拉普拉斯方程Δu=0•1.球坐标系21∂⎛2∂u⎞1∂⎛∂u⎞1∂u⎜r⎟+⎜sinθ⎟+=0.22222r∂r⎝∂r⎠rsinθ∂θ⎝∂θ⎠rsinθ∂ϕ•分离变量：u(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)，有d⎛2dR⎞⎜r⎟−l(l+1)R=0,→欧拉型方程dr⎝dr⎠21∂⎛∂Y⎞1∂Y⎜sinθ⎟++l(l+1)Y=0.→球函数方程22sinθ∂θ⎝∂θ⎠sinθ∂ϕ1•欧拉型方程的解为：R(r)=Cr+D.l+1r•球函数方程可进一步分离变量：

3、Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ),Φ''+λΦ=0,1d⎛dΘ⎞λ⎜sinθ⎟+[l(l+1)−]Θ=0.2sinθdθ⎝dθ⎠sinθ•由于自然周期性条件Φ(φ+2π)=Φ(φ)，可以得到λ=m2,(m=0,1,2,…)，其本征函数是Φ(φ)=Acosmφ+Bsinmφ.•对于Θ满足的方程，令θ=arccosx，方程化为222dΘdΘm(1−x)−2x+[l(l+1)−]Θ=0.22dxdx1−x•上述方程称作ℓ阶连带勒让德方程；特别地，当m=0，方程称作ℓ阶勒让德方程。•☆关于边界条件的注释：以后我们要讲到，由于勒让德方程的解隐

4、含着在x=±1处有限，即θ=0,π的所谓“自然边界条件”，决定了ℓ只能取整数值。•2.柱坐标系221∂⎛∂u⎞1∂u∂u⎜ρ⎟++=0.⎜⎟222ρ∂ρ⎝∂ρ⎠ρ∂ϕ∂z•分离变量：u(ρ,φ,z)=R(ρ)Φ(θ)Z(z)，有2Φ''+λΦ=0,→λ=m(m=0,1,2,L)22ρdRρdR2Z''++ρ=λ.2RdρRdρZ•Φ所满足的方程的解为：Φ(φ)=Acosmφ+Bsinmφ.•第二个方程进一步分解为两个常微分方程：Z''−μZ=0,22dR1dRm++(μ−)R=0.22dρρdρρ•上述方程的解分为三种情况：•A.

5、μ=0.则解为Z=C+Dz,⎧E+Flnρ,(m=0)R=⎨mm⎩Eρ+F/ρ.(m=1,2,L)μz−μz•B.μ>0.Z所满足的解为Z(z)=Ce+De.做代换x=μ1/2ρ,则R满足的方程化为22dR1dRm++(1−)R=0，或：22dxxdxx22dRdR22x+x+(x−m)R=0.2dxdx上述方程称作m阶贝塞尔方程。•C.μ<0.令-μ=ν2，有Z(z)=Ccosνz+Dsinνz.•做代换x=νρ,方程化为：22dRdR22x+x−(x+m)R=0.2dxdx•称作虚宗量贝塞尔方程。•☆关于边界条件的注释：以后我

6、们会讲到，贝塞尔方程附加ρ=ρ处的齐次边界条件构成本征值问题，决定μ的可0能数值（即本征值）。•（二）亥姆霍兹方程•波动方程u-a2Δu=0及输运方程u-a2Δu=0在分离出时间变ttt量后都得到亥姆霍兹方程Δv+k2v=0.（比较与拉普拉斯方程和泊松方程的异同！）•1.球坐标系21∂⎛2∂v⎞1∂⎛∂v⎞1∂v2⎜r⎟+⎜sinθ⎟++kv=0.22222r∂r⎝∂r⎠rsinθ∂θ⎝∂θ⎠rsinθ∂ϕ•分离变量得到：21∂⎛∂Y⎞1∂Y⎜sinθ⎟++l(l+1)Y=0,22sinθ∂θ⎝∂θ⎠sinθ∂ϕd⎛2dR⎞22⎜

7、r⎟+[kr−l(l+1)]R=0,或dr⎝dr⎠22dRdR22r+2r+[kr−l(l+1)]R=0.2drdr•上述方程称作ℓ阶球贝塞尔方程。做变量替换x=kr,R(r)=(π/2x)1/2y(x)后，该方程可以化成ℓ+1/2阶的贝塞尔方程。•☆关于边界条件的注释：我们假设亥姆霍兹方程满足齐次边界条件，这样方程附加在球面r=r处的齐次边界条件就0构成本征值问题，决定k的可能数值，且有k2≥0.•2.柱坐标系下的亥姆霍兹方程221∂⎛∂v⎞1∂v∂v2⎜ρ⎟+++kv=0.⎜⎟222ρ∂ρ⎝∂ρ⎠ρ∂ϕ∂z•同样采取分离变量，

8、有''2Φ+mΦ=0,(m=0,1,2,L)''2Z+νZ=0,2dR1dR22λ++(k−ν−)R=0.22dρρdρρ•记常数μ=k2+ν2，并做变量替换x=μ1/2ρ，可以得到m阶贝塞尔方程：22dR1dRm++(1−)R=0.22dxxdx