二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧

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1、二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法；比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程.1.预备知识d2xdt2+a1tdxd

2、t+a2tx=f(t)(1.1)其中ai(t)(i=1,2)以及f(t)都是连续函数并且区间是a≤t≤b.如果f(t)≡0,则方程（1）就变成了d2xdt2+a1tdxdt+a2tx=0（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程，把方程（1.1）叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程.2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数C看作是t的待定函数C(t)，然后求出非齐次线性方程的通解.求解过程如下：设x1(t),x2(t)是方

3、程（1.2）的基本解组，则x=x1t+c2x2(t)（2.1.1）是方程（1.2）的通解.将常数Ci看作是t的待定函数Ci(t)(i=1,2),那么方程（2.1.1）就变成x=c1tx1t+c2(t)x2(t)（2.1.2）求x关于t的一阶导数得x'=c1'(t)x1(t)+c1(t)x1'(t)+c2'(t)x2(t)+c2(t)x2'(t)令c1'tx1t+c2'tx2t=0（2.1.3）得到x'=c1(t)x1'(t)+c2(t)x2'(t)（2.1.4）再求x关于t的二阶导数得x''=c1'(t

4、)x1'(t)+c1(t)x1''(t)+c2(t)x2''(t)+c2'(t)x2'(t)(2.1.5)把方程（2.1.4）、（2.1.5）带入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法设方程（1.1）中a1、a2都是常数，即L[x]≡d2xdt2+a1dxdt+a2x=0,（2.2.1）我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.7接着我们要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组.下面是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程dxdt+ax=0，的通

5、解是x=ce-at,由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解x=eλt,L[eλt]≡d2eλtdt2+a1deλtdt+a2eλt=(λ2+a1λ+a2)eλt≡F(λ)eλt,所以F(λ)=λ2+a1λ+a2是λ的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是F(λ)=λ2+a1λ+a2=0（2.2.2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解λ.下面就λ的不同形式进行讨论.2.2.1特征根是两个实根设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根λ1，λ2,所以该方程有如下两解：eλ1t,e

6、λ2t.我们指出这两个解在上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组.事实上,这时W（t）=eλ1teλ2tλ1eλ1tλ2eλ2t=e(λ1+λ2)11λ1λ2=eλ1+λ2(λ2-λ1),≠0,所以eλ1t,eλ2t线性无关,上式得证.所以此方程的通解可表示为x=c1eλ1t+c2eλ2t（其中c1,c2为任意实数）.假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是λ1=α+iβ,那么另一个特征根是λ2=α-iβ,所以方程有两个复值解eα+iβt=eαt(cosβt+isinβt),

7、eα-iβt=eαt(cosβt-isinβt).所以,我们可求的方程（2.2.1）的两个实值解是eαtcosβt,eαtsinβt.2.2.2特征根有重根若特征方程(2.2.2)有两个相等的实根λ1=λ2，此时a12-4a22＝0，即有λ=-a12，于是方程(2.2.2)有一个特解x=eλ1t，所以方程的另一个特解是x2=ux1=ueλ1t其中u＝u(t)为待定函数，对x2求一阶，二阶导数得7dx2dt=dudteλ1t+λ2ueλ1t=(dudt+λ2u)eλ1t，d2x2dt2=(d2ud

8、t2+2λ1dudt+λ12u)eλ1t，将它们代入方程(2.2.2)得(d2udt2+2λ1dudt+λ12u)eλ1t＋a1(dudt+λ2u)eλ1t＋a2ueλ1t＝0，整理得[d2udt2+(2λ1+a1)dudt+(λ12+a1λ1+a2)u]eλ1t=0，因为eλ1t≠0并且λ1是特征方程的根，所以λ12+a1λ1+a2=0，有因为λ1=-a12所以有2λ1+a1=0，那么上式变成d2udt2=0，显然满足d2udt2=0的