二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧

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1、二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法：比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程.1.预备知识^7+ai(t)^^+a2(t)x=/(t)(1.1)其中•⑺

2、(f=1,2)以及/丫都是连续函数并.R.区间是a

3、数=1,2)，那么方程(2.1.1)就变成x=Ci(t)^i(0+c2(t)X2(0(2.1.2)求z关于t的一阶导数得x’=ci(t)Xi(t)+q⑴Xi'(t)+c2z(t)%2(t)+C2(t)x2'(t)令q(t)x1(t)+c2(t)%2(f)=0(2.1.3)得到％=c1()x1(t)+c2(t)x2(t)(2.1.4)再求x关于t的二阶导数得X=cr(t)xx(t)^C1(t)x1(t)^C2(0x2(0(0x2(0(2.1.5)把方程(2.1.4)、(2.1.5)带入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法设方程(1.

4、1)屮七、心都是常数，即L[xJ=.——(2.2.1)ddc我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.接着我们要求解方稈(2.2.1).那么方稈(2.2.1)的通解足关键所在，我们只需要求出它的基木解组.下而是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程dx——Hclx=0/dt的通解是x=ce~ati由此可以猜测二阶常数齐次微分方稈有指数形式的解L[e从]三=（X2切以勿eAt=pa）eAt,所以厂也以^^是入的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是Fa）=X2（2.2.2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解A.卜而

5、就A的不同形忒进行讨论.2.2.1特征根是两个实根设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根A2，所以该方程冇如下两解：我们指出这两个解在a

6、方程（2.2.1）的两个实值解是eatcospt，eatsinpt•2.2.2特征根有重根若特征方程（2.2.2）有两个相等的实根A1=A2,此吋七2-4七2二ft即冇于是方程（2.2.2）冇一个特解所以方程的另一个特解是x2=ux1=ueXlt其中为待定函数，对%2求一阶，二阶导数得^=Tte"lt+^ue将它们代入方程(2.2.2)得(g+从^i2u)+A2u)+a2ue^=0,整理+a^)4-+a:)u]e、1=0,囚为e2lt矣0片_LL入i足特征方程的根，所以人2++a2=Of有因为久=—@■所以有切^=0,那么上式变成^=0，

7、显然满足=0的蚋数很多，我们取其屮最简单的一个u(t)=t,则x2=teAt是方程(2.2.1)的另一个解，并且；q、x2是两个线性无关的函数，所以方程(2.2.1)的通解是x=(c1+c2x)eAlt.2.2.3解得表A、又2的情形方程(2.2.1)的通解两个不相等的实根x=cxeXlt+c2eAzt两个相等实根a,=A2^x=(c1+c2x)eXlt一对共轭S根=a+,A2=cc—ipx=eat(cxcos+c2sinpt)2.3比较系数法比较系数法中函数f(t)讨以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解

8、，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是敁沿的通解.2.3.1f(t)=(bQt^b1)eXt函数尸⑺二必0"/hJe2、其屮2，b()：么是确定的常数.当力•程切1^-+a2x=f(有形如a