非均匀耦合非线性薛定谔方程组协变延拓结构理论

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1、摘要通常的Ｗ－Ｅ延拓结构是处理可积的非线性演化方程的强有力工具，但它是一种非协变性理论。本文将协变延拓结构理论首次应用于非均匀两分量耦合非线性薛定谔方程组。根据协变延拓结构理论的基本方程构造出了两种情况的可积方程组的具体形式，同时用这一理论分别求出这两种方程组的Ｌａｘ表示以及相应的Ｒｉｃｃａｔｉ方程，还讨论了它们各自的Ｂ洳ｋｌｕｎｄ变换，最后给出了各自的单孤子解。关键词：Ｗ撕Ｉｑｕｉ啦Ｅｓｔａｂｒｏｏｋ延拓结构，协变延拓结构，非均匀耦合非线性薛定谔方程组，单孤子解。ＡｂｓｔｒａｃｔＩｔｉｓｗｅｌｌｋｎｏｗｎｔｈａｔｔｈｅＷ－Ｅ’Ｓｐｒ

2、ｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｓａｐｏｗｅｒｆｕｌｍｅｔｈｏｄｔｏｄｅａｌｗｉｔｈａｌｏｔｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｕｔｉｔｓｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｎｏ－ｃｏｖａｒｉａｎｔ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｆｏｒｔｈｅｆｉｒｓｔｔｉｍｅ，ｔｈｅｃｏｖａｒｉａｎｔｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃ－ｔｕｒｅｔｈｅｏｒｙｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｃｏｕｐｌｅｄｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｎｓｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎ

3、ｔａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＣＯ－ｖａｒｉａｎｔｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｔｈｅｏｒｙ，ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｆｏｒｍｓｏｆｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｗｏｃａｓｅｓ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｗｅｆｉｎｄｏｕｔｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＬａｘｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａ－ｔｉｏｎｓｏｆｔｈｏｓｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｉｓｔｈｅｏｒｙ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅＢ／ｉｃｋｌ

4、ｕｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｏｆｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｉｒｏｎｅ－ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：ａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｗａｈｌｑｕｉｓｔ—Ｅｓｔａｂｒｏｏｋ’Ｓｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｃｏｖａｒｉａｎｔｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎ，ｃｏｕｐｌｅｄｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｏｎｅ－ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎ．首都师范大学位论文原

5、创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．学位论文作者签名：又ｐ厨同首都师范大学位论文授权使用声明本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版．有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅．有权将学

6、位论文的内容编入有关数据库进行检索．有权将学位论文的标题和摘要汇编出版，保密的学位论文在解密后适用本规定．学位论文作者签名：邓明日期：ｚｐ僻６月加目ｌ引言非线性偏微分方程在物理、化学、生物等领域有着重要应用。例如流体力学中用于描述浅水波运动的ＫｄＶ方程，一维原子链模型中的ｓｉｎｅ－Ｇｏｒｄｏｎ方程，非线性光学中描写光纤中光孤子运动以及生物物理学中达维多夫模型中所涉及到的非线性薛定谔方程（组），固体物理学中的户田（Ｍ．Ｔｏｄａ）模型中的非线性晶格方程，表述二维流体运动的ＫＰ方程，等等。随着深入的研究，人们发现上述几类具有孤子解的非线性方程

7、（组）具有一些共同的特性，其中之一就是它们都具有Ｌａｘ对，并有相应的Ｌａｘ表示。一旦求得了它们的Ｌ觚表示，就可以通过所谓Ｂ／ｉｃｌｄｕｎｄ变换，较容易地求得它们的孤子解。当然，这只是求解可积问题方法之一，还有其它方法。通常，人们是通过所谓（外）延拓结构来求得给出的非线性偏微分方程（组）的Ｌａｘ对的。（外）延拓结构的概念最初是由Ｗｏｈｌｑｕｉｓｔ和Ｅｓｔａｂｒｏｏｋ于１９７５年提出来的『１１，称为Ｗ－Ｅ延拓结构理论。它是一种比较有效的几何方法、适用于许多非线性演化方程。它们最早被用于ＫｄＶ方程，并在【２１中运用于非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ

8、方程。他们的做法是把一个给定的（１＋１）维孤子方程用一组构成闭理想的２．形式表达出来，然后引入原方程的延拓变量以及它们的１．形式∥，将原来的闭理想扩展成一个包舭ｉ的新的闭理想。他们并不直接研究