薄区域上反应扩散方程逼近

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1、薄区域上反应扩散方程的逼近梅林锋（山东大学数学系，济南２５０１００），１ｊ摘要，式、｝‘设Ｑ。＝Ｑ×（ｏ，ｇ（ｘ，Ｅ）），ｘ∈Ｑ，Ｑ是Ｒ“中的有界区域，ｓ＞０，ｇ（ｘ，￡）是Ｑ×［０，ＥｏＪ上的光滑函数，Ｅｏ＞０，ｇ（Ｘ，０）＝０，当ｅ∈（ｏ，￡ｏＪ时，ｇ（Ｘ，￡）＞０，警Ｉ。；ｏ＝ｇｏ（Ｘ）＞０．在薄区域仉上考虑反应扩散方程的Ｎｅｕｍａｎｎ问题：ｆｔ‘ｔ一△“＋ＯｔＵ＝ｆ（ｘ，ｒｕ），（ｘ，Ｙ）ＧＱ。，ｉ篆扎（础Ⅲ乳当￡一０时，在Ｑ。的极限区域Ｑ上考虑相应于（１．３）的极限问题．『ｕｔ一嘉砉‰％ｋ＋伽一，ｃ圳，咄。∈Ｑ

2、ｏ’３’（１．９）【未＝ｏ，。∈扣．（１１方程（１．３）的椭圆部分的特征值和特征函数和（１．９）的椭圆部分的特征值和特征函数的关系．（２１方程（１．３）的线性部分所生成的半群和（１．９）的线性部分所生成的半群的关系．（３）方程（１．３）的周期解和（１．９）的周期解的关系．在第１节中，我们在（１．３）中作变量变换Ｘ＝￡，Ｙ＝ｇ（。，￡）ｖ，将（１．３）化成固定区域Ｑ＝Ｑ×（０，１）上的问题：ｐ口＝ｕ＠艚＠∈；兰∞Ｕ，（ｚ，Ｖ）∈Ｑ、（１．５）＋ｋｕ，●，、【毗改ｕ一一｝０，其中Ｌ。是椭圆算子，Ｂ。是梯度算子．设

3、厶在边值条件下的限制是止．在第２节中，考虑问题（１．５），（１．９）的变分提法，引入一个重要的算子Ｍ，讨论了其性质．第３．１节讨论了（１．９）的各个特征值之间的间隙问题，第３．２节是（１．５）和（１．９）的特征值和特征函数的比较与逼近，得到了如下的结果：定理３．２设Ａｏ的特征值为Ａｊ，Ｊ＝１，２…．．对任何正整数Ｎ和实数Ｋ＞１存在实数ｓｏ＝６０（Ｋ，Ｎ）使得当０＜￡≤￡ｏ时，Ａ。的前Ｎ个特征值Ａｊ，。∈【Ａ１／２，ＡＮ＋（ＡⅣ＋１一ＡⅣ）／．Ｋ】，Ｊ＝１，…，Ⅳ，但第Ⅳ＋１个特征值Ａ．Ⅳ＋ｌ一∈协．Ⅳ＋１一（ＡＮ＋Ｉ—ＡⅣ

4、）／耳，ｏ。），且１ｍ‘＾ａｘ』ｖ｛ｌＡＪ一一Ａ』Ｉ＋０妒Ｊ，ｃ一妒ｉｌｌｘｔ）≤ｅＡⅣ￡・从定理（３．２），有推论３．３对任何正数二＞０，存在正整数Ｎ和正数６１（Ｎ）使得ｏ＜ｉ。ｎ＜ｆ。．（ＡⅣ小一ＡＮ，。）≥Ｌ・第四节讨论问题（１．５）和（１．９）分别生成的半群＆（ｔ）和岛（ｔ），得出了当￡一０时，曼（ｔ）一岛（￡），并且给出了＆（ｔ）趋向于岛（ｔ）的三２一估计和日１秸计．设玫和疋分别是Ｑ上的某种工２和Ｈ１空间．得到了下面的结果定理４．１．存在￡１＞０，使得对任何的Ｒ＞０，有正数ＫＩ＝ＫＩ（Ｒ），使当０＜￡≤￡１，ｔｌ

5、ｏ∈Ｘｏ，Ｉｌｕｏｌｌｘ。≤Ｒ时，有ＩＩｕ。０）一－（０１１备。＋／ＩＩ（ｕ。一ｕ）（ｓ）ＩＩ女。ｄ，ｓｓ￡Ｋｊｅｘｐ（Ｋ・ｔ）．（４．５）其中ｔ‘。（ｔ）＝最（ｔ），ｔ‘（ｔ）＝＆（ｔ）Ｍｕｏ．定理４．２．存在ｓｌ＞０，使得对任何的Ｒ＞０，存在正常数霞１＝扁（Ｒ），对任何０＜￡≤Ｅ１，“ｏ∈．砭，Ｉｌｕｏｌｌｘ．≤丑，有ｔ２№。（ｔ）一ｕ（圳１支。＋Ｚ２ｏ暑（ｓ（ｕ。一ｕ）（ｓ））１１３，。出≤ｅ贾－ｅ，（ｐ（霞，啦（４．１１）其中“。（ｔ）＝＆（ｔ）“ｏ，ｔ‘（ｔ）＝ｓｏ（ｔ）Ｍｕｏ．从定理４．２，我们有下面的推论

6、４．３．设ｔ１＞ｔｏ＞０，则存在正常数Ｃ使得当ｔｏ≤ｔ≤ｔ１时，有ｆｆＲ（ｆ）一岛。）ＭＩＩ。（置；ｘ。）≤ｃ，／２亚ｔｏｅｘｐ（譬）．第五节给出前几节结果的一个应用，比较问题（１．５）和问题（１．９）的周期解，得到下面的存在性与逼近结果定理５．１．假设问题（１．９）有一个％－周期解Ｚ＝ｚ（ｔ，ｚ），而线性化方程鲁＝击函‰）“－ｏｔｔｏ＋觯，ｏ，撕脚，（５。）没有和磊线性无关的解，并且没有形如ｙ（≠，ｚ）＋（ｔ／Ｔｏ）Ｚｔ（ｔ，ｚ）的解，其中Ｙ是奶＇周期函数，那么存在ｆ＞０使得对所有的￡∈（０，Ｅ），问题（１．５）有一

7、个疋一周期解ｕ。，且当￡一０时，正一蜀且０面ｅ—ｚｏｃｈ（ｘ。）—，０，其中面。（ｔ）＝“。（舞ｔ），ＣＴｏ（Ｘｓ）是所有从冗到Ｘ。的连续蜀＿周期函数的集合具如下模的空间：１１ｗ［ＩＣＴｃ（Ｘ・）＼ｒ＜ｔｓ＜ｕ，ｐ＋∥”（撇・‘关键词：薄区域，反应扩散方程，特征值，特征函甄半群，逼近，不动点指数．致谢：本文的写作和镌西得到了导师陈绍著教授的悉心指导，綦建刚老师也给了我很大帮助，在此一并表示最诚挚的感谢．薄区域上反应扩散方程的逼近Ｉ．引言设ｎ是冗“（ｎ兰２）中一个光滑的有界区域，吼是Ｒ“＋１中一个薄区域，￡是一个正数，当￡一

8、０时，ｇ。光滑地收敛到Ｑ．在Ｑ。上考虑一个反应扩散方程，当Ｅ一０时该方程退化为Ｑ上的—个极限方程．本文考虑由这两个方程所确定的动力系统之间的关系．特别是对应的特征值，特征函数，半群的比较和估计，以及它们的周期解的存在性和逼近问题．我们首先给出仉的详细定义．设￡ｏ是一个正数’ｇ：ＱＸ【０，Ｇ０】一Ｒ是一个