关于Riccati方程可积性条件的讨论.pdf

《关于Riccati方程可积性条件的讨论.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2011年9月西安石油大学学报(自然科学版)Sep．2011第26卷第5期JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition)V01．26No．5文章编号：1673-064X(2011)05-0107-04关于Riccati方程可积性条件的讨论冯录祥(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)摘要：利用变量变换的方法，得到了Riccati方程的一个新的可积性条件及其在这些条件下的通积分．此结果优化和推广了文献[1]中的结果，而且包含了已有文献中的一批结论，最后给出定理应用的例子．关键词：Riccati方程

2、；可积性条件；通积分中图分类号：O175．11文献标识码：A法国数学家Liouville在1841年证明了著名的Riccati方程Y=P(x)y+Q(x)y+R(x)(1)一般是不可积的，但Riccati方程在历史上和近代都有重要的应用．研究Riccati方程可积的条件，一直是可积理论的重要课题．近年来许多学者都曾对Riccati方程的可积性做过研究工作_1剖．文献[1]在2006年曾得到过Riccati方程(1)的一个可积条件及其通积分，但这些条件结构比较复杂．本文利用变量变换的思想，对文献[1]的结果进行推广，得到了Riccati方程(1)的另一个可积

3、条件及其在该条件下的通积分．值得指出的是，所得条件结构简单、便于检验，极大地优化了文献[1]中的条件，同时，所得结果应用范围更广．为方便，记P=P()≠0，Q=Q()，R=R()，Yo：Y。()，并用“J’'表示被积函数的任一个确定的原函数．1主要结果引理若Yo是Riccati方程(1)的一个解，则(1)的通积分为Y=——f_(2PY二n_+口—)dx—一+Yo．c—IPeJ(Pyo口)如dxJ注：对Riccati方程(1)作变换Y：“+Y0易得．定理若存在常数tl,及函数使得L[yo]=一口PeJ(2PYo。’，(2)则Riccati方程(1)可积，且(

4、i)当口=0时，方程(1)的通积分为ef(2Pyo+Q)dx。；(3)(ii)当口≠0时，方程(1)的通积分为收稿日期：2010．11-15基金项目：陕西省教育厅科研计划项目(~-：2010JK400)；宝鸡文理学院重点科研资助项目(编号：ZK1014)作者简介：冯录祥(1954一)，男，教授，主要从事常微分方程研究．E-mail：fengluxiang@126．com-——108西安石油大学学报(自然科学版))，二2iaef(2Pyo+q)d~V=～+，。Tpe／f⋯(2，o+‘YQ，)～出上+y^，】⋯。。．‘(4)ce一2。州毋。。一其中，L[Yo]

5、=一Y。+Pyo+Qro+R．证明：(i)a=0时，~L[yo]=0，此时J~Riccati方程(1)的一个特解，据引理知Riccati方程(1)可积，通积分为式(3)(ii)a≠0时，作变换：y=at)+yo(U，是待定函数)，则，，=+u+Y。．把y，y的表达式代人Riccati方程(1)，整理得+——·一(2PYo+Q)]=P“+L[xo]，U+-u令+‘一(2Py。+Q’)=0，则等=2Py。+q．两边关于求积分，易得M“=kef(‰+Q)出(≠0为任意常数)．取其一个特解=aJ‘口，此时，由已知条件有L[Yo]+Pu=tirol+Pa2e2J‘‰

6、+Q)=0．故Riccati方程(1)有特解Y=u+Yo=口e‰+，据引理知Riccati方程(1)可积，通积分为)，=eJ(毋+q)ax+)，C一fPe』(毋+Q)出dJ51．2Py+Q=2aPe』(2‰。山+(2PY+Q)，于是e毋+Q)出：e2。e』‘‰．e+Qo．所以，Pe』(2毋出=e』(2‘e2。血出=[e2．fPo‰十Q)出]=1e2』(‰出故Y=eJ(竹Q)出+e2。eJ‘‰。山．ef

7、．该结果包含了已有文献中有关Riccati方程可积性的一大批结论．推论1⋯若存在函数A()、Y。∈C，A()≠0及常数，使得条件L[yo]=AeJ(2PY0Q)k—APe‰。出dAeJ(Q)出成立，则Riccati方程(1)有一个特解)，o=+，从而Riccati方程(1)可积，通积分k—Pe』(2PYo+口)dJ为Y=eJ(‰Q)dx+Y0·C～Pe+口’do=二．Ae—f(2Pyo+Q)dx证明：在定理中，取Y—_+，口=。，则条件(2)后一JAPeJ‘PYoJ血dx，L[Y—]：一a2pezPY—o+Q)dx即R=Y—一Py?一Q，把=k—AAePJ

8、(eP『Y(o2‰Q)+山口’出dx+Y。代人，则有oo冯录祥：关