关于Brown随机指数一致可积性条件的推广.pdf

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1、2012年12月纯粹数学与应用数学Dec.2012第28卷第6期PureandAppliedMathematicsVol.28No.6关于Brown随机指数一致可积性条件的推广李军(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070)摘要：利用Brown运动的下函数,推广了随机指数一致可积性的判定条件,进而改进了Novikov条件和Kazamaki条件.关键词：随机指数;指数鞅的一致可积性;Brown运动的下函数;Novikov条件;Kazamaki条件中图分类号：O211.6文献标识码：A文章编号：1008-5513(2012)06-08

2、39-061引引引言言言及及及主主主要要要结结结果果果设B=(Bt)t0是过滤概率空间(Ω,F,(Ft)t0,P)上的Brown运动,τ=τ(ω)是取值于[0,∞]上的Ft-停时.令Mt=Bt^,则随机过程M=(Mt)t0是一个连续的平方可积鞅,其中M的二次变差⟨M⟩=t∧τ.把过程()1ε(M)=Zt=expMt−⟨M⟩t2称为M的Dol´eans指数(或随机指数).指数鞅(尤其是一致可积的指数鞅)在随机分析及其应用的许多方面都起到极其重要的作用,但是在通常情况下Zt却不是一个一致可积鞅.已知,Zt的一致可积性等价于条件EZ1=

3、1,或者()1EexpB−τ=1,(1)2其中,在集合{ω:τ(ω)=∞}上,exp(B−1τ)=0.2对于(1)式,一般情况下是很难验证的,但是由于Zt的重要性,还是引起了许多学者的广泛关注,并且也取得了一些不错的结果.文献[1]证明了若τ是有界的,则Zt是一致可积的.文献[2]证明了若对于某个ε>0,有Eexp[(1+ε)τ]<∞,则Zt是一致可积的.与此同时,文献[3]对上述条件作了进一步改进,即若对于某个ε>0,有[()]1Eexp+ετ<∞,(2)2收稿日期：2012-06-09.基金项目：国家自然科学基金(11061032

4、).作者简介：李军(1986-),硕士,研究方向:随机分析及其应用.840纯粹数学与应用数学第28卷则结论依然成立.之后,文献[4]证明了在(2)式中,取ε=0,即()1Eexpτ<∞(3)2蕴含条件(1).文献[5]给出了一个更漂亮的条件:()1supEexpBt^<∞,(4)t02这个条件对于条件(1)是充分的,而且要比条件(2)弱.对于条件(3)的弱化还可以采取其它方法.在文献[6-7]中,假设存在Brown运动的一个下函数φ(关于下函数的定义详见本文第二节),使得[]1Eexpτ−φ(τ)<∞(τ被认为是几乎必然有限的),(5

5、)2那么条件(1)成立.文献[8]也用类似于(5)式的条件对Kazamaki条件(4)进行了弱化.文献[9]也给出了(1)式的充分条件,即[]1limsupEexpt∧τ−φ(t∧τ)<∞,(6)t!12[]11limsupEexpBt^−φ(t∧τ)<∞.(7)t!122上述两个条件(6)和(7)在改进了文献[6-8]的结果的同时,特别地进一步对Novikov条件(3)和Kazamaki条件(4)式作了改进.本文的主要工作是借助于Brown的下函数对文献[9]中的结果进行推广,将条件(6)和(7)统一起来,进而得出条件(1)的更一般的

6、条件,从而更进一步改进了Novikov条件(3)和Kazamaki条件(4).下面给出本文的主要定理.定定定理理理1.1令φ是Brown运动的一个下函数,则下述条件对于(1)式是充分的,即[()]1supEexpαB+−ατ−

7、1−α

8、φ(τ)<∞,2其中α∈R且α̸=1,同时,上确界是取遍所有停时τ而得到的.注注注在定理1.1中,分别令α=0和α=1,即可得到文献[9]的结果(6)和(7).22预预预备备备知知知识识识首先给出Brown运动的下函数的定义[9-10].设(Bt)t0是标准Brown运动且φ是定义在R+上的实值连续函

9、数.集合A={ω:∃t=t(ω),∀s≥t,Bs(ω)<φ(s)}属于σ-代数X=∩t>0σ(Bs;s≥t).由Blumenthal0-1律可得P(A)=0或1.注注注集合A也可以表示成:A={ω:Bt<φ(t),t→∞}.定定定义义义2.1若P(A)=0,则称φ是Brown运动的下函数;若P(A)=1,则称φ是Brown运动的上函数.第6期李军:关于Brown随机指数一致可积性条件的推广841为了证明定理1.1,需要用到以下四个引理.引引引理理理2.1对于任意的m∈R+,设ιm和νm分别为如下形式的停时:ιm=inf{t≥0:Bt

10、φ(t)−m};(8)νm=inf{t≥0:Bt≥t+φ(t)+m},(9)则有[()]1EexpBm−ιm;ιm<∞=P{˜ιm<∞};(10)2[()]1EexpBm−νm;νm<∞=