9.1定积分概念 - 可积条件

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1、§3可积条件§4定积分的性质§1定积分概念§5微积分学基本定理§2牛顿—莱布尼茨公式小结与习题第九章定积分§6定积分的计算一、问题的提出二、定积分的定义§9.1定积分概念三、定积分的几何意义定积分的演示背景来源——面积的计算！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积？一般图形的面积是什么我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分一、问题提出1.曲边梯形的面积设y=f(x)为区间[a,b]上连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=by=0所围成的

2、图形称为曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如矩形的面积=底×高显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。直与曲不变与变砖是直边的长方体烟囱的截面是弯曲的圆“直的砖”砌成了“弯的圆”局部以直代曲abxyoabxyo虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。（四个小矩形）（九个小矩形）从中可以得到一个什么样的启示？小曲边梯形的底：小曲边梯形的高：小曲边梯形的面积：⑴分割用任意的一组分点：把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]i=1,2,…,n相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSii=1,2

3、,…,n（化整为零）⑵近似代替在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，其中（曲转化为直）于是小曲边梯形的面积⑶求和（积零为整）大曲边梯形的面积⑷取极限令若极限存在，则定义此极限值为曲边梯形的面积（直转化为曲）让每个小区间的长度趋于零求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形

4、的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。F虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，F(x)AB变力做功的问题设质点m受力的作用，在变力F的作用下，沿直线由A点运动到B点，求变力作的功⑴分割用任意的一组分点：把[a,b]分成n个小区间[ti-1,ti]i=1,2,…,n⑵近似代替在[ti-1,ti]上任取一点ξi，于是在该小区间上的力作的功⑶求和总功⑷取极限令若极限存在，则定义此极限值为力所做的功从上面例子看出，不

5、管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义二、定积分的定义定义1:在[a,b]内任取一组分点将[a,b]分成n个子区间Δi=[xi-1,xi]i=1,2,…,n这些分点构成[a,b]的一个分割，记为T={x0,x1,…,xn}={Δ1,Δ2,…,Δn}记Δxi=xi–xi-1，并称为分割T的模称此和式为f在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和定义2:设函数f(x)在[a,

6、b]上有定义,对[a,b]的一个割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取点iΔi,i=1,2,…,n，作和定义3:设函数f(x)在[a,b]上有定义,若任给的ε>0，总存在δ>0，使得对[a,b]的任何分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任意的iΔi,i=1,2,…,n，只要

7、

8、T

9、

10、<δ,就有则称函数f(x)在[a,b]上可积；数J称为f在[a,b]上的定积分.记作也可用极限符号来表达定积分注1：积分和的极限与函数的极限有很大的区别积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.注2：定积分数值只与被积函数及积分区间[a,b]有关,与积分变量记号无关规定当a=b时,规定当a>b时,与的差别是的

11、全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数注3：注5．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有注4.当的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间的分法及点的取法无关。f(x)[a,b]例1求在区间[0,1]上，以抛物线y=x2为曲边的曲边三角形的面积解由定积分的几何意义，有因为定积分存在，对区间[0,1]取特殊的分割,等分成n等份,分点为每个小区间的长度取则有与区间及被积函数有关；B.与区间无关