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《关于Riccati微分方程一个新的可积条件的注记.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第24卷第3期宝鸡文理学院学报(自然科学版)VOl.24NO.32004年9月JOurnalOfBaOjiUniversityOfArtsandSciences(NaturalScience)Sept.2004关于Riccati微分方程一个新的可积条件的注记阎恩让(宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721007)摘要,分析了赵临龙1998年发表于<科学通报>上关于Riccati微分方程一个新的可积条件,举例说明了该条件是不成立的O指出了赵临龙文中论证的不足之处O关键词,Riccati微分方程;可积性;充分条件中图分类号,17
2、5.1文献标识码,A文章编号,1007-1261(2004)03-0179-02AnoteaboutaintegrableconditionofRiccatidifferentialeguationYANEn-rang(Dept.Math.,BaOjiUniv.ArtsSSci.,BaOji721007,Shaanxi,china)Abstract,AintegrablecOnditiOnOfRiccatieguatiOnbyZHALin-lOng(chineseScienceBulletin,VOl.43,NO.1,
3、1998)isdiscussed.ThecOnditiOnisnOttenableisexpOundedbyexamples.MOreOvertheprOOfOfZHAspaperisinsufficientispOintedOut.Keywords,RiccatidifferentialeguatiOn;integrability;sufficientcOnditiOnMSC2000,34A05;34A34文献[1]中给出了推广的Riccati微分方程即满足条件(2),但是方程(3)是不可积的[2]O所y/=P(I)
4、yn@(I)yR(I)以(2)不是方程(1)可积的充分条件O(1){(n?0~1,RP?0)例2考察Riccati微分方程一个新的可积条件,dy2=y-Iy1,IE(->,>)(4)若存在常数k,B和函数D(I)?0,使得dI显然有特解y(I)=I,因此可用积分法求得n(@(I)-BD(I))dIR(I)=kP(I)e(2)它的通解,即方程(4)可积O对应于方程(1)这里则方程(1)可积OP(I)=R(I)=1,@(I)=-I,n=2,若条件这个可积条件实际上是不成立的,容易通过(2)成立,则存在常数k~B和函数D(I
5、)?0,使得下面的例子说明O2(-I-BD(I))dI例1考虑Riccati微分方程,ke=1,IE(->,>),则必有-1dy22I-BD(I)E0,从而有D(I)=-I,这与=yI(I>0)(3)BdID(I)?0矛盾O因此,对可积方程(4)来说,条件对应方程(1)这里有P(I)E1,@(I)E0,(2)不成立O这说明(2)也不是方程(1)可积的必2R(I)=I,n=2O显然存在常数k=1,B=-1要条件O1及函数D(I)=,有分析[1]的证明可以得到,若P(I)~R(I)可In(@(I)-BD(I))dI21dI
6、2微,则存在线性变换kP(I)e=eI=I=R(I)收稿日期,2004-04-04基金项目,陕西省自然科学基金项目(2002F30);宝鸡文理学院重点科研项目(2003)作者简介,阎恩让(1956-),男,陕西蓝田人,副教授,研究方向,微分方程.180宝鸡文理学院学报(自然科学版)2004年y=S(x)Z(S(x)S0是可微函数)(5)足的逻辑错误O化方程(1)为如果从(8)中消去函数D(x)则可以得到nZ/=A(x)Z-B(x)Z-C(x)(ACS0)(6)[3]:存在常数a~}~c使得的充要条件是:n@(x)dxa
7、P(x)en-1n-1R(x)=n(9)11=PR=AC[}P(x)e(n-1)@(x)dxdx-c]n-1(7)L12=P//P-(n-1)@=A//A-(n-1)B反之若条件(9)成立则只要取U=1B=若方程(6)的系数函数具有纯公因式形}式:A(x)=UD(x)B(x)=BD(x)C(x)=7=a函数n-17D(x)(U~B~7为常数)则(6)是变量可分离方(n-1)@(x)dxP(x)e程从而(1)可积O于是有方程(1)可积的充分条D(x)=(n-1)@(x)dx}P(x)edx-c件[1]:存在常数U~B~7
8、及函数D(x)S0使得则容易证明(8)成立O即条件(8)与(9)等价O因此n-1n-1n11=PR=U7D(8)条件(9)是方程(1)可积的充分条件O文[3]虽然L12=P//P-(n-1)@=D//D-(n-1)BD也得到了这个条件但同样也是论证不足O成立O参考文献:文[1]虽然由条件(8)推出了条件(2)成立[1]赵临龙.ri
