关于Furuichi猜想的注记.pdf

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1、2014年9月安庆师范学院学报(自然科学版)Sept．2Ol4Vo1．2ONO．3第2o卷第3期JournalofAnqingTeachemCollege(NaturalScienceEdition)网络出版时间：2014—9—1516：07网络出版地址：http：／／www．enki．net／kcms／doi／lO．13757／j．enki．cn34一l150／n．2014．03．001·html关于Furuichi猜想的注记周其生(安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133)摘要：本文将Ando和Fumichi关于两个半正定矩阵多重积的迹的一些不等式推

2、广到无穷维Hilbert空间，得到关于算子迹的若干不等式，作为其结果，得出Fumichi猜想在一定条件下对算子迹的肯定的回答。关键词：矩阵；算子；迹；不等式；Hilbert空间；Fumichi猜想中圈分类号：O177．1文献标识码：A文章编号：1007-4260(2014)03—0001一O3文献[1]介绍了BMV猜想的相关研究成果，定理A(Araki—Lieb—Thirring)对A，≥并提出一个问题。若A，B是两个同阶半正定0，q≥0，0≤r≤l，下面不等式成立：Hermite矩阵，记．(A，)为长度是m，其中Tr(ABA)≤Tr(ABA)(4)出现I}次的字(

3、即由A，B按通常矩阵乘法组成的对r≥l，不等式反向。单项式(或称多重积))，这样的．(A，B)共有关于不等式(1)的相关研究尚不多见，1个。考虑这些字的迹Trw埘，(A，)(不一定是T．Ando在1994年和2000年【讨论了两个半、I正定矩阵A，曰的多重积，分别得到如下两个结果：实数)，我们的问题：是否有定理B(文献[5]定理4．1)对任意两个同Tr(AB)≤ITr．(A，B)I≤Tr(A)阶半正定矩阵A，B，有(1)A(IA。曰。AB⋯AB“I)<成立?例如Tr(AB)≤ITr(ABABAB)l≤Tr(A。B6)成立吗?lA(IA+P“叩‘匏“f)(5)我们注意

4、到，即使Tr．(A，)是实数，一般满足0≤PI≤gl≤Plg2≤ql+g2≤⋯≤ql不一定有Trw．(A，B)>Tr(AB)，并且可举出+q2+⋯+qk一1≤Pl+p2+⋯+p^≤ql+q2+一个3×3矩阵的反例。但(1)式是否成立，仍然⋯+qI，这里ITI=(’)寺，A()表示的特征是未知的。事实上，关于不等式值向量。Tr(AB)≤Tr(AB)(2)因为Xlog一受控于l，，即

5、但ITr(A。B。Ap2日⋯A“)I≤事实上比不等式(2)更一般的不等式早在1976年就已经出现，后来被称之为Lieb—Thirring不等Tr(IA川一‘“‘1)(6)‘式J，即设A，B≥0，q>1，k>0，则有又当∑p=∑q=l时，即为Tr(B／2AB／2)幻≤Tr(日A)(3)I=II1当k=l，q=m时，由(3)式即可得到(2)式。lTr(ABAB啦⋯ABI≤Tr(1ABI)(7)丛：：鉴=Thirring不等式推广为定理c([6]，定理2．1)设P‘，qi≥0(1≤i·收稿日期：2014—03一l2作者筒介：周其生。男，安徽金寨人。安庆师范学院数学与计算科

6、学学院教授．主要从事算子理论研究。·2·安庆师范学院学报(自然科学版)2014年I本文的目的是将定理B和定理C中的(6)，≤J})，p口=1且满足(9)两式分别推广到箅子的情形。本文用B(日)表示可分无穷维Hilbe~空间日0≤∑q‘一∑Pi≤了1(1≤_『≤k一1)上的有界线性算子全体，c表示(日)中SehattenP一类算子全体，特别地，c。为迹类算子0≤∑P‘一∑g≤÷(2≤_『≤后)全体所作成的理想，C表示全体正的迹类算子，则有对算子TEC，trT表示它的迹。关于迹类算子的A(1An’ABq2~~~Af)

7、。为简便起见，这特别里讨论的对象主要是迹类算子，不精细地讨论C。lfr(aBA曰匏⋯Ap‘B靠)l≤Tr(aB)(9)类。不难知道，(9)式强于(7)式。当A∈B(H)为紧算子时，记{S(A)}为A的推论2当jp一I+Jg一÷f≤}时，有奇异值不增序列。由文献[11]知A∈c时，它总∞ITr(APBAi-pB卜I≤Tr(AB)(10)可以表示为A=∑(A)0，这里A(A)为推论3设ff，ml(1≤i≤．i})为满足∑z=A(包括重数)的特征值，且A。(A)≥A(A)≥⋯≥A(A)≥⋯，e，为其相应的标准正交特征向量。∑=4的非负整数，则有显然当A只有有限个非零特