关于包络与奇解的注记-论文.pdf

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1、第34卷第3期黄冈师范学院学报Vo1．34No．32014年6月JournalofHuanggangNormalUniversityJun．2014关于包络与奇解的注记邹志龙，涂婷，王成(黄冈师范学院数理学院，湖北黄州438000)摘要给出了包络的不同定义并根据这些定义指出了包络与奇解之间的关系，然后根据这种关系用实例说明了用包络定义奇解的不相容性，最后指出用解的唯一性被破坏来定义奇解的合理性。关键词包络；奇解；定义；不相容性中图分类号O175．1文献标志码A文章编号1003-8078(2014)03—0010—03收稿日期2014-04-30doi10．3969／j．issn．100

2、3—8078．2014．03．03作者简介邹志龙，男，湖北襄阳人，黄冈师范学院数学与应用数学专业学生。通讯作者王成，女，湖北黄石人，副教授，华中科技大学博士后，主要研究方向为随机系统稳定性。NotesabouttheenvelopeandsingularsolutionZOUZhi-long，TUTing，WANGCheng(CollegeofMathematicsandPhysics，HuanggangNormalUniversity，Huangzhou，438000，Hubei，China)AbstractWediscusstherelationshipbetweentheenve

3、lopeandthesingularsolutionaccordingtOthedifferentdefinitionsoftheenvelope．ExamplesareprovidedtOindicatethatthesingularsolutiongiveninenvelopehasincompatibility．Finally，thedefinitionofsingularsolution，basedonwhichuniquenessisdestroyed，hasrationality．Keywordsenvelope；singularsolution；definition；in

4、compatibility一般谈到一阶微分方程的时候，都会涉及到1包络与奇解的定义包络与奇解，它们虽属不同范畴内的概念(包络属于几何学中的概念，奇解属于微分学中的概念)，定义1[1设给定单参数曲线族K(x，，c)一0但在几何意义方面它们却有着十分相似的地方。其中C是参数，K(，Y，C)一0是，Y，C的因此，一些微分方程的教材则利用包络与奇解之连续函数。曲线族的包络是这样一条曲线，它本间的关系，通过研究包络的性质来定义奇解。有身不包含在曲线族内，但过曲线的每一点都有曲文献给出包络必不属于通解这一约束条件n；另线族中的一条曲线和它在这一点相切。有文献从包络线上的每一点均有曲线族中不同于定义

5、2[z,33设在平面上有一条连续可微的它的曲线在该点与之相切来定义包络，从而定义曲线L，如果对于任意的一点P∈L，在通解奇解[2；还有文献从两方面出发来定义包络，即(z，Y，C)===0所对应的曲线族中均有一条曲线曲线族中的每一条曲线均与包络线相切，而在包M(OM)通过P点并在该点与L相切，而且M络线上的每一点均有曲线族中的一条曲线在该点(nM)在P点的某一领域内不同于L，则称曲线L与之相切[6]。由以上包络与奇解的研究现状可为曲线族的包络。知这三种定义本身就存在不相容性，因此从几何定义3[6曲线族的包络是这样的一条曲方面来定义奇解必会给奇解的求解过程带来困线，它与曲线族中的每一条曲线

6、相切于一点或几扰。因而，本文从微分方程的角度出发，利用唯一点，而它由此类点组成。性被破坏来定义奇解。定义4[2“]设定义域为D的一阶微分方程第3期邹志龙，等：关于包络与奇解的注记为F(z，Y，)===0．z有一特解L：_y一(z)，(z∈D)如果对于每一点P∈L，在P点的任何邻域内方程有不同于L的解在P点与L相切，则称L‘’l是微分方程的奇解。2包络与奇解的关系由包络与奇解的定义，即定义1、2、3、4的比图1为+(z一C)一1(c≥一1)的图像较，可以得出以下结论：包络即为奇解。证明曲线L上任取一点(z。，。)，其中例2求微分方程一4xyy+8y一0的。一(z。)，则由包络的定义可知，

7、曲线族奇解(，，C)一0中有一条曲线一(_z，c。)在解：用微分法可求得方程的通解(zo，0)点与(z)相切，即(z0)一(o，Co)，===c(Iz—C)(z0)一(z0，co)，因．y一(，c0)是微分方程令(，y，C)一v—c(-z—C)一0F(z，，)一0的一个解，所以则有(z，y，C)一-X+4cx一3c一0，F(zo，“(zo，f0)，“(0，co))一0。因此，由C判别式可得方程组f—c(z—c)。一0F(z。，(。)，(。))一