关于内积空间的商空间的几点注记-论文.pdf

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1、山东农业大学学报(自然科学版)，2014，45(2)：234．236V0L．45NO．22014JournalofShandongAgriculturalUniversity(NaturalScienceEdition)doi：10．3969~．issn．1000-2324．2014．02．014关于内积空间的商空间的几点注记田祥，李全忠山东农业大学信息科学与工程学院，山东泰安271000摘要：讨论了内积空间的商空间，将内积空间的内积应用到它的商空间上，并证明了它的商空间也是一个内积空间，并相应得到一些结论。关键词：线

2、性空间：商空间：内积中圈分类号：O15ll2文献标识码：A文章编号：1000．2324(2014)02．0234．03NotesonQuotientSpaceofInnerProductSpaceTLXiang，LIQuan—zhongCollgeofinformationScienceandEngineering,ShandongAgriculturalUniversity,Taian271000；ChinaAbstract：ThispaperdiscussedtheQuotientSpaceofinnerprodu

3、ctspaceandtheinnerproductwasappliedtothetheQuotientSpaceofinnerproductspace．TheresultshowedthattheQuotientSpacewasinnerproductspaceandsomerelatedconclusions．keywords：Linearspace；quotientspace；innerproduct1商空间的基本概念和性质定义1．1设W是数域F上的线性空间的子空间，向量，∈W，若一∈W则称向量与称为模W同余这样就

4、在线性空间的向量之间引入了一种关系，即同余关系．同余关系是一个等价关系，将V中的向量按照同余关系划分为同余类：即在同一个同余类的向量彼此模W同余。在不同的同余类中的向量一定模W不同余．向量所在的同余类记为，称所有模W的同余类集合记为W定理设是数域F上的线性空间V的子空间，在集合v／w中规定加法和数乘为=：．则V／W关于这两个运算构成数域F上的一个线性空间定义1．2设W是数域F上的线性空间V的子空间，将关于+万=．：两个运算构成的数域F上的线性空间称为关于的商空间．性质1在商空间W中∈W的充要条件是：0，性质2在商空间v

5、／W中的充要条件是一∈W，性质3是商空问z／W中的零元素2主要结果和证明引理1设，⋯，，卜“，⋯，是线性空间的一组基，口{，⋯r-，则(1)川，⋯，是线性无关的；(2)川，⋯，是的一组基，且若=，+⋯+，，+++⋯+，。则77l，+1，+l+⋯+Inn收稿日期：201212．22修回日期：2013．10．28作者简介：田祥(1979．)，男，讲师，硕士，主要从事运筹学与控制论方向的研究第2期田祥等：关于内积空间的商空间的几点注记证明(1)首先证明，⋯，一是线性无关的不妨设+-川+⋯+：石，即kr+-+·+⋯+0，由性质

6、1可得’+1ar+l+．．‘+∈W．故存在，⋯，满足kr+1+1+⋯+毛+⋯+进而毛+⋯+k,ar—kr+1+l⋯．-knot=0。Eh~a,，⋯，是线性空间V的一组基，可得+⋯==O，故川，⋯，畦毙性无关．(2)其次证明川，⋯，：~v／w的一组基．不妨设，7f1+⋯+f，+lr+1+1+⋯+，则，7一(+1ar+1+⋯+loao)=，l+⋯+4ar∈．由性质2可得‘+1+1+⋯+lr+l，+1+⋯+一，所以川，⋯，是商空间v／w的一组基且+t川+⋯+，．定理1设数域F上的内积空间V=W~W，对任意的，∈V令(参)=(

7、z，)，，其中+，77+且，∈W，∈W则商空间v／w；~()构成内积空间，，．=口’+口“证明首先设=”+”77十其中“∈∈，，，，，，，若=，则由性质2可知一∈，进而=．由空间的性质可知(，77)=(”，)=(，)=(最，77)．同理，可证当时，()=()所以，当=，r／i=r／2，时，(，)=(，)=(，)．．其次，对任意的，∈v／w若+77届+且∈W，∈W则由空间V的内积，，，，，的性质可得：1．(77)满足对称性事实上，(77)=(a2，)=(，a2)：(77，)：．2．【，77J满足恒正性．事实上，(i)若≠

8、0则诺故≠0进而()=l(，)>0，，．(ii)若0则∈W故0进而()=(a2，a2)=(0，0)=0，，，．(iii)若()=(a2，a2)=0则0进而∈W故0，，，．3．(77)满足线性性．．事实上，对任意的，∈，∈F，若=”-{-0~1)=以+其中”∈，，，，∈W刚fi1(。+，)=(+，)=(+，)：(”，)+(，)：(，