数值分析05内积空间.pdf

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1、第0.5节内积空间§0.5.1内积空间§0.5.2正交分解§0.5.3Hilbert空间中的Fourier分析回顾0.2节-----距离空间（距离公理）元素间距离0.3节-----赋范线性空间（范数公理）元素的度量两向量之间的夹角？-----内积空间§0.5.1内积空间1）定义（内积和内积空间）设U是数域K（实或复数域）上的线性空间，若xy,U，存在唯一的数(,)xyK，满足下列三条（内积公理）：①正定性：(,)0xx，(,)0xxx0②共轭对称性：(,)(,)xyyx③对第一变元的线性性：(xy,)zx(,)z(,),

2、yzzU则称(,)xy为x,y的内积，U为内积空间。当K是实数域时，称U为实内积空间；当K为复数域时，称U为复内积空间；通常U指的是复内积空间。注：当U为内积空间时，x,,yzU,,K有第二变元的①②(,xyz)(,)xy(,)xz共轭线性性②(,)(,)xxxx为实数K为实数域时，第二变元也是线性的内积空间的例子：nnR(,)xyxiiyi1b2Lab[,]((),())ftgtf()()tgtdta2）内积的性质11

3、(,)xy

4、(,)(,)xx22yy①内积满足Cauchy-Schwarz不等式：证：x

5、,,,yEKxy(,)xy0,2即(,)xx(,)xy(,)

6、

7、(,)0yxyy(,)xy取，设y(,)yy2

8、(,)

9、xy2则(,)xx0

10、(,)

11、xyx(,)(,)x.yy(,)yy2）内积的性质11

12、(,)xy

13、(,)(,)xx22yy①内积满足Cauchy-Schwarz不等式：nn特别地：R中(,)xyxiiyi11/21/2nnn22xyiixiyiiii111②内积可诱导范数内积诱导出的范数2在内积空间中，若令Ux(,)xx即x(,)xx可

14、验证满足范数公理，故是按内积导出的U赋范线性空间。进一步也可由范数导出距离(,)xyxyxy(,xy)则也是U距离空间。（Cauchy—Schwarz不等式）：xy,U，有xy,xy验证xx(,)x满足范数的三条公理。①显然模②xx(,)xx2③因为xyx(,)(yxyx,xx)(,yx)(,yy)(,y)22xx2Re(,)yy222x2xyy()xyRe(,)xy(,)xyxyxyxy③内积导出的范数满足平行四边形公式2222xyxy2(xy)证明：22

15、xyxy(,)xyxy(,)xyxy2222x(,)(,)xyyxyxx(,)(,)yyxy222(xy)x-yyx+yxy判别定理若赋范线性空间X的范数满足平行四边2222形公式xyxy2(xy)，则由范数可诱导出内积使得X成为内积空间。证：1.当X为实赋范线性空间时，定义122(,)xyx(yxy)4则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；2.当X为复赋范线性空间时，定义虚数单位122i22(,)xy(xyxy)(xiyxiy)44则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理

16、。注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。定理：赋范线性空间成为内积空间范数满足平行四边形公式利用Cauchy-Schwarz④内积的连续性不等式求证内积空间U中，内积(,)xy是两个变元xy,的连续函数，即当xxnn,yy（按范数）时，数列(,)(,)xnnyxy3）希尔伯特（Hilbert）空间定义完备的内积空间U称为Hilbert空间，记作H（即内积空间U按距离(,)xyxy(xyxy,)是完备的，亦是Banach空间）举例n例1在——n维（实或复数）向量空间中，nxxxxyyyy(,,,

17、),(,,,)，定义12nn12n内积(,)xyxiiy（满足内积公理）i1n2范数x(,)xxxi，i1n则按范数是完备的内积空间，即Hilbert空间。nn2n(,)xyxy，范数xx特别的，在R中，内积iii。i1i122例2在L[,]ab中，x(),()tytL[,]ab，b定义内积(,)xyxtytdt()()（满足内积公理）a1b22范数xx((t)dt)，a2则L[,]ab按范数是完备的内积空间。复数取共轭b2若L[,]ab为复值函数，则定义内积(,)xyxa()()tytdt（满足内积

18、公理）22例3在lx{xx(,,),12x

19、

20、xii,x为复数}