数值分析(05)高斯消元法.pdf

《数值分析(05)高斯消元法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数值分析第三章线性代数方程组的数值解法第一节引言第二节高斯消元法第三节矩阵的三角分解法第四节误差分析和解的精度改进n第五节大型稀疏方程组的迭代法第六节极小化方法数值分析数值分析第一节引言线性代数方程组的一般形式axaxaxb1111221nn1axaxaxb2112222nn2axaxaxbm11m22mnnm用矩阵形式表示为Axbmn(1)其增广矩阵记为ARaaab11121n1aaabAAb,21222n2aaabm12mmnm数值分析数值分析结论1

2、（线性代数方程组有解判别定理）线性方程组Axb有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A）结论2线性方程组Axb有解（即相容）时，(1)秩()A秩()Arn,则方程组Axb存在唯一解。(2)()rArA()rn,方程组Axb有无穷多解。通解原方程组一个特解对应齐次方程组的基础解系的线性组合。常见是mn，称为欠定方程组（方程数少于未知数）此时，从Axb的无穷多个解中需求出2范数最小的解。即求x,使

3、

4、

5、

6、xmin

7、

8、

9、

10、x，x满足Axb。22数值分析数值分析rA()rA()方程组Axb无解（即不相容）。常见是mn，称为超定方

11、程组（又称矛盾方程组）此时，向量b不在A的列空间RA()之中，原方程组无解，但可求出最小二乘意义下的解x。2即求x使

12、

13、bAx

14、

15、min2MATLAB实现:x=Ab本章介绍求解n阶线性方程组的数值方法axaxaxb1111221nn1axaxaxb2112222nn2axaxaxbn11n22nnnn数值分析数值分析数值求解方法有以下三条途径直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算可求出精确解。迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限次迭代过程求解。有限次截断得近似解。极小化方法：构造二次模

16、函数，用迭代过程求二次模函数的极小化问题，即变分法（经n次运算，理论上得精确解）要求A对称正定(S.P.D)数值分析数值分析第二节高斯消元法nn求解AxbAR将原方程组Axb化为同解的上三角方程组Uxg初等变换AxbUxg同解用增广矩阵表示为数值分析数值分析一、三角形方程组的解法三角形方程组包括上三角形方程组和下三角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角方程组的一般形式是

17、：axax..............................axb1111221nn1ax.............................axb2222nn2.........................................axaxbn1n1n1n1nnn1axbnnnn其中a0(i1,2,......,n)ii数值分析数值分析例用回代法求解线性方程组xxx4124xx57x2343xx13133413x134解:x14xx(1313)/3034x

18、(75xx)(750)2243x4xx4121142TT所以，解为（xxxx,,,)(1,2,0,1)1234数值分析数值分析为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先axax..............................axb1111221nn1解出x=b/aax,然后按方程由后向前的顺序，从方程.............................axbnnnn2222nn2中依次解出xn-1,xn-2,…,x.....................................

19、..1。这样就完成了上三角方程组..的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如axaxbn1n1n1n1nnn1下：axbnnnn其中aii0(i1,2,......,)nxb/annnnnxi(biaxikk)/aiiin1,,1ki1数值分析数值分析返回变量函数名参数表functionX=backsub(A,b)%Input—Aisann×nupper-triangularnonsingullarmatrix%---bisann×1matrix%Output—Xisthesolutiontothesys