关于《拓扑向量空间中的一类平衡问题研究》的注记-论文.pdf

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1、2014年4月纯粹数学与应用数学Apt．2014第30卷第2期PureandAppliedMathematicsVl0l_3ONo．2关于《拓扑向量空间中的一类平衡问题研究》的注记傅俊义，王三华(南昌大学数学系，江西南昌330031)摘要：利用比较弱的锥连续性与著名的Fan—KKM定理，得到一类具有控制结构的强向量均衡问题的解，并讨论其解集的性质，改进了相关文献的主要研究结果．关键词：强向量均衡问题；锥连续；控制结构；解集中图分类号：0224文献标识码：A文章编号：1008—5513(2o14)o2—0129—07DOI：10．3969／j．issn．1008—5513．2014．02

2、．0021引言均衡问题是变分不等式与相补问题的有意义的推广．在力学、微分方程理论、控制论、优化理论与数理经济等领域的很多问题，都可化为均衡问题来处理，因此它有较为广泛的应用．从上世纪60年代，由Lions，Browder，KyFan，Stampacchia等人提出和创立变分不等式与相补问题的基本理论以来，经过许多数学家的努力，变分不等式与相补问题的理论与应用，都取得了重要的发展，并日臻完善．近年来，随着向量优化理论的深入发展，均衡问题的研究由数值函数发展到更为一般的向量值映射．近年来，向量变分不等式与向量均衡问题成为很多数学工作者关注的研究课题(见文献『1—41及其所附文献)．本文研究

3、一类具有控制结构的强向量均衡问题，利用比较弱的锥连续性与著名的Fan—KKM定理，得到这类问题解的存在定理，并讨论其解集的性质，改进了文献[5】的主要结果．本文安排如下：第二节阐述要研究的问题，并回顾所用到的一些定义与已知结果；第三节给出主要结果及其证明．2预备知识设，Z是实的Hausdorf拓扑向量空间，KX是非空闭凸集，PZ是闭凸点锥．P收稿日期：2013—0704．基金项目：国家自然科学基金(11201216，11061023)．作者简介：傅俊义(1941一)，教授，研究方向：向量变分不等式130纯粹数学与应用数学第30卷在Z上定义的序关系如下：V，∈Z，§一z∈P．若给定集值映

4、射P：K2z，Vx∈K，P(x)是Z中的闭凸点锥，则称集族{P()：X∈)是Z上的控制结构，它是Z上的一种变动的序关系[3】．给定向量映射．厂：K×KZ．考虑下面的具有控制结构的强向量均衡问题(strongvectorequilibriumproblemwithdominationstructure，简记为：DSVEP)：求∈K，满足(DSVEP)，(，Y)∈P()，Vy∈K如果Vx∈K，P(x)：P(一个固定锥)，则(DSVEP)变为下面的强向量均衡问题(简记为：SVEP)：求∈K满足(SVEP)f(x，Y)∈P)Vy∈K(DSVEP)与(SVEP)就是求向量均衡问题的强解．这是一种

5、理想的解，它比向量均衡问题的其他解，例如：弱有效解，有效解，真有效解等，都更好[3j4，6-12]．因此，研究上述强向量均衡问题，讨论其解的存在性与解集的性质，是有意义的．下面介绍向量映射锥连续的概念．定义2．1[12]设．厂：-_}，而Pz是闭凸锥．称，在Xo∈K是P一连续的，如果对于z中零元的任何邻，存在X0的邻域U(xo)，使得f(x)∈f(xo)+V+JF)V∈U(xo)n；称．，在K是P一连续的，如果。f在的每一点都是P一连续的．注2．1由文献[12]知，如果，是连续的，则．厂同时是P连续与一P连续的；反之，当P具有闭凸有界基时，。厂同时是P连续与一P连续的，才有连续性．因此

6、，与通常的连续性相比，锥连续性是一种较弱的连续性．定义2．2[13]设为非空凸子集，向量映射f：Kz．(i)称．厂是凸的，如果Vx，Y∈K，t∈[0，1]，有t，()+(1一t)f(y)∈，+(1一t)y)+P(ii)称．厂是真拟凸的，如果Vx，Y∈K，t∈[0，1]，有f(x)∈f(tx+(1一t)y)+P或f(Y)∈f(tx+(1一t)y)+P(iii)称．厂拟凸的，如果Vz∈Z，集x∈K：∈f(x)+P)是凸的；(iv)称，是凹(真拟凹，拟凹)的，如果一f是凸(真拟凸，拟凸)的第2期傅俊义等：关于《拓扑向量空间中的一类平衡问题研究》的注记131易见，若f是凸(凹)的，则f是拟凸(

7、拟凹)的；若f是真拟凸(凹)的，则f是拟凸(凹)的．反之，未必成立[13]．用数学归纳法，容易证明下面的引理(也可见文献[5]的引理4．1)．引理2．1(真拟凸的性质)设为非空凸子集，向量映射f：K--+Z．f是真拟凸的礼当且仅当VXl，X2，⋯，EK，ti>0，Eti=1，均存在某个i∈{1，2，⋯，n)，使得=1f(xi)∈f(tlXl+t2X2+···+tnX)+P仿上面的定义引进下面的概念．定义2．3设，：K×KZ，{P()：X∈)是z