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1、第四章Hilbert空间内积空间的基本概念设H是域K上的线性空间，对任意H，有一个中K数(兀』)与之对应，使得对任意x,H；aeK满足1)(x,y)>0；(x,y)=o,当且仅当x=0;2)(x,y)=(y,x)；3)(伽，y)=d(x，y)；4)(x+y,z)=(x,z)+(y,z)；称(,)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。定理1.1设H是内积空间，则对任意x,yeH有：l(x,y)2l<(x,x)(y,y)o设H是内积空间，对任意xeH,命IIXll=J(兀，兀)则II•II是H上的一个范数。例设H是区间仪上］上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意x,y&H9定义则与L
2、［a,b］类似，(兀,y)是一个内积，由内积产生的范数为llxll=(flx(r)l2^)^上一个内积介不是Hilbert空间。定理1・2设H是内积空间，则内积（兀，y）是兀，y的连续函数，即时兀”T兀，（£』”）T（X』）。定理1.3设H是内积空间，对任意x.jgH，有以下关系式成立，1）平行四边形法则:llx+jll2+llx-jll2=2(llxll2+lljll2)；2)极化恒等式：(x,j)=-(IIx+jII2—IIx-jII2+fIIx+(yII2—4i\x-iy\2)定理1・4设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X中原来
3、的范数。二正交性，正交系1正交性设H是内积空间，x^yeH,如果（兀』）=0,称兀与y正交，记为兀丄丿。设M是H的任意子集，如果xgH与M中每一元正交，称兀与M正交，记为兀丄M；如果是H中两个子集，对于任意兀eM,y&N,x丄y,称M与N正交，记MA.N。设M是H的子集，所有H中与M正交的元的全体称为M的正交补，记为MS定理2.1设H是内积空间1）如果x,H,x=y+z且y丄z,贝'Jllx\2=iijir+iizii2；2）如果乙是H的一个稠密子集，即L=H,并且兀丄乙，则x=0；3）M是H的任意子集，则M丄是H的闭子空间。定理2.2设M是内积空间H中的完备凸集，则对任意XGH,存在七GM
4、,使得IIx-x0\=d（x9M）=infIIx-jII定理2.3（正交分解）设M是H〃呢〃空间H的闭子空间，则对任意XGH,存在唯一的xoeM及ywM丄，使得兀=兀+y2正交系设｛七｝,aeI是内积空间H中的子集，如果a*B时（£，儿）=°，称｛£｝，aw/是中的一个正交系。设｛xa｝,a&I是一个正交系，如果对每一上GGIAXall=1，称｛七｝，。丘［是一个标准正交系。设｛xj,ae/是H的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间称｛xa｝,aeI是的正交基。定理2.4设｛《｝是内积空间H中的标准正交系，xeH,a*・・・a是"个数,则当且当仅e=（兀禺）仇=i，・・・m）时,I
5、I兀一II取最小值。k=l定理2.5（Bessel不等式）设｛《｝是内积空间H中的标准正交系，则对任意兀wH9有£l（x,e）12<11兀1『A=1定理2・6设｛《｝是内积空间中的一个标准正交系，则｛《｝是完备的，当且仅当｛《｝张成的子空间乙在H中稠密。定理2.7设H是Hilbert空间，｛《｝是H中的标准正交系，则｛《｝是完备的，当且仅当｛《｝是完全的。定理2.8设H是HiZbeH空间,｛《｝是H中的标准正交系，｛^,｝gI2,则存在xeH,使得&=（x,eJ（氐=1,2,...）并且£
6、訓=nxH2k=l定理2.9（正交化定理）设｛■¥”｝是内积空间H中的可数子集,则在H中存在标准正交系｛
7、en｝,使得｛x”｝与｛《｝张成的子空间相同。3可分空间的同构定理2.10设H是任一可分的无穷维的Hilbert空间，则存在H上到厂同构映射卩，且卩保持内积。这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”r三Riesz表示定理，Hilbert空间的共觇空间1Riesz表示定理定理3.1(Riesz表示定理)设H是Hilbert空间，f是H上任意有界线性泛函，则存在唯一的y.eH,使得对于每一个xeH,有/(x)=(x,jz),并且有II/11=11儿II。2空间的共觇空间设H是Hilbert空间，Aw0(H),于是对任意yeH,易见(Ax,y)(xeH)是H上的一个有界线性泛函，因此
8、由Riesz表示定理，存在唯一的zeH,使得(Ax,j)=(x,z)(XGH)(I)定义By=z.定义设H是Hilbert空间,Ae0(H),把(1)式确定的有界线性算子〃称为A的共辘算子。注意区别第三章第四节中定义H上的有界线性算子4的共辄算子AS以后说到Hilbert空间H上的有界算子的共辘算子A均指(1)定义的算子B,并且把它记为即A的共辄算子4/是由下式定义的算子：(Ax,y)=(x,Ay
