内积空间课件.ppt

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1、第二章内积空间一、实内积空间的定义§1、实内积空间的概念定义1设,如果对，存在实数（记为）与之对应，且满足下列条件①②③，当且仅当时等号成立。则称实数为向量的内积，定义了内积的实线性空间称为实内积空间，简称为内积空间。例1常见几个线性空间上内积的定义：欧氏空间（有限维实内积空间）：②上连续函数的全体构成的空间：注：向量的长度或正交向量：④实数域上所有n次多项式构成的线性空间：③实数域上所有n阶方阵构成的线性空间：性质1（内积的性质）①②③定理1（Cauchy-Schwarz不等式）设是内积空间，是中任意两个向量，则有：当且仅当线性相关时等号成立。上Cauchy

2、-Schwarz不等式的分量形式：上Cauchy-Schwarz不等式的积分形式：例2设是中的一组向量，证明这组向量线性无关的充要条件是下列行列式（Gram）证明：设§2、正交基与子空间的正交关系定义1（正交组）内积空间中两两正交的一组非零向量，称之为正交组。注：任何一个正交组都是线性无关的。定义2（正交基）在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基为标准（或规范）正交基，通常记为定理1（正交基的构造）任一n维欧氏空间都存在正交基。证明（略）。证明过程给出了正交基的一种构造方法：著名的Schmidt正交

3、化方法（线性代数学过）。定义3（正交矩阵）设，如果，则称为正交矩阵。性质1不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵。设n维欧氏空间的两组标准正交基为即注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。正交矩阵性质（略）定义4（正交子空间）设是内积空间的两个子空间，如果对，均有，则称与是正交的子空间，并记为。性质2设内积空间的两个子空间与是正交的，则是直和。两种方法说明：交集为零空间；零元素表示唯一。定义5（正交补空间）设是内积空间的两个子空间，且满足，则称是的正交补空间，简称正交补，记为。性质3n维欧氏空间的任一子空间

4、都有唯一的正交补。证明:①如果，则是唯一的正交补。②如果，在中选取一组正交基，并将其扩充为的一组正交基则就是的正交补。③唯一性：证明:①如果，则是唯一的正交补。同理例3已知中：，其中求。利用Schmidt正交化方法将其化为正交基：将扩充为的一组基：解：例4设，称的子空间为矩阵的值域，求。注：一般来说，称为矩阵的零空间。§3、内积空间的同构定义1（内积空间的同构）设是两个内积空间，如果和之间存在一个一一对应关系，使得对任意的满足⒈⒉⒊则称和是同构的。注：首先作为线性空间是同构的，在此同构之下保持内积不变。定理1所有n维欧氏空间都同构。①设是n维欧氏空间，是其一组

5、标准正交基，则有定义容易验证该映射为同构映射，且保持内积不变，从而与同构。②设是另一n维欧氏空间，是其一组标准正交基，则有定义从而与同构。§4、正交变换定义1（正交变换）设是内积空间的线性变换，如果对任意的，满足则称线性变换为的一个正交变换。定理1（正交变换的等价定义）设是n维欧氏空间的一个线性变换，则下列命题等价：⑴是正交变换。⑵保持向量长度不变，即对，均有。⑶如果是的一组标准正交基，则也是的一组标准正交基。⑷在中任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。证明思路：是正交变换取是正交变换由§2中性质1：不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵，因此为正交矩阵。例5几个

6、正交变换的例子：的一个线性变换，对则是正交变换。②设是内积空间的一个线性变换，则是正交变换。即：保持距离不变的线性变换是正交变换。③设是内积空间的一个变换，证明：如果保持向量的内积不变，即对，则一定是线性变换，故是正交变换。§5、点到子空间的距离与最小二乘法定义1（距离）设是欧氏空间，，称为与的距离，记为。性质1（距离的性质）①②③，当且仅当时等号成立。定义2（点到子空间的距离）设是欧氏空间的一个子空间，，称为到的距离。问题:达到最小距离的具有什么性质？设如果定义3最小二乘法问题提法1（矛盾方程组求解）设给定不相容（或矛盾）线性代数方程组其中寻求近似解，满足故

7、称之为最小二乘解，相应方法称为最小二乘法。提法2（数据拟合问题）设给定一组数据，寻求一个近似函数（经验函数）来拟合该组数据，使得提法1的求法记问题相当于：对于给定的向量，寻求使得之间的距离达到最小。记法（正规）方程组解：例6：求下列方程组的最小二乘解一、复内积空间的定义§6、复内积空间（酉空间）定义1设,如果对，存在复数（记为）与之对应，且满足下列条件①②③，当且仅当时等号成立。则称复数为向量的内积，定义了内积的复线性空间称为复内积空间，或称为酉空间。例7常见几个线性空间上复内积的定义：n维酉空间（有限维复内积空间）：③实数域上所有n次多项式构成的线性空间：②

8、实数域上所有n阶方阵构成的线性空间：性