矩阵论 第2章 内积空间ppt课件.ppt

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1、同济大学数学系2009-3-22第2章内积空间武汉理工大学理学院2.1内积空间定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，2若a,bV,存在唯一的rR与之对应，记作(a,b)=r,并且满足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a=0则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性线性性非负性3由定义知(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)4定义内积例.线性空间称为内积空间的标准内积。5定

2、义内积A为n阶实正定矩阵，例.线性空间6定义内积例.线性空间C[a,b]，f,g∈C[a,b]向量长度,Cauchy-Schwarz不等式定义.设V为实内积空间，称为向量a的长度，记作

3、

4、a

5、

6、。定理.设V是实内积空间，a,bV,kR，则等号成立当且仅当a,b线性相关；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齐次性8例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知向量的正交定义.设V是实内积空间，a,bV,若(a,b)=0,则称a与b正交，记作ab。a与b正交这就是实内积空间中的勾股定理。11向量a与b在该基下的坐

7、标为12度量矩阵矩阵A称为基的度量矩阵。即A为实对称矩阵。即A为实正定矩阵。2.2欧氏空间的正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。15且其中每个向量的长度都是1，注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程：设是内积空间V中线性无关的向量组，，使得则V中存在正交向量组Gram-Schmidt正交化过程图解18令是正交向量组，并且则记或注意到K是可逆矩阵，因此是正交向量组下面用归纳法说明由归纳法假设可知是

8、正交向量组。即几个定理和推论定理1：n维实内积空间V必存在标准正交基。推论1：n维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成V的一个正交基。定理2：设是n维欧氏空间V的一组基，，使得则V中存在标准正交基其中R是主对角元为正数的上三角矩阵22几个定理和推论232.4正交补定义:设W,U是实内积空间V的子空间，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;(2)若aW,bU,都有(a,b)=0,则称W与U正交，记作WU;(3)若WU，并且W+U=V,则称U为W的正交补。注意：若WU，则W与U的和必是直和。正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间

9、V的子空间，则W的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且正交补的存在唯一性27定理:设W是实内积空间V的有限维子空间，则向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间，则称向量b为向量a在W上的正投影，称向量长度

10、

11、g

12、

13、为向量a到W的距离。WdbOag垂线最短定理定理:设W是实内积空间V的子空间，aV,b为a在W上的正投影，则dW,有并且等号成立当且仅当b=d。Wdba最小二乘法（1）可能无解，即任意都可能使（2）不等于零，设法找实数组使（2）最小这样的为方程组（1）的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出：实系数线性方程组2.问题的解决设（3）用距离的概念，（

14、2）就是由（3）知找使（2）最小，等价于找子空间中向量使到它的距离比到中其它向量的距离都短.设为此必这等价于（4）即这样（4）等价于或（5）例题2.5正交变换定义:设T是实内积空间V的线性变换，若aV有则称T为V的正交变换。正交变换的特征刻画定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,bV，则下列命题等价，36推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。Householder变换构造的正交变换讨论正交变换H的几何意义。故H(a)是a关于子空间的反射，dagbwO-g矩阵H称为Householder矩阵，变换H称为Householder变换，

15、变换H也称初等反射变换。2.6复内积空间（酉空间）简介定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，39若a,bV,存在唯一的cC与之对应，记作(a,b)=c,并且满足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a=0则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性线性性非负性(1)(a,b)=(b,a)40定义内积例.线性空间称为复内积空间的标准内积。41在复内积空间中还有(5)(a,b+g)=(a,b)+