工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt

《工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、工程矩阵理论硕士研究生学位课程第二章内积空间与等距变换第一节内积空间的基本概念第二节正交补,向量到子空间的最短距离第三节等距变换第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念§2.1内积空间的基本概念一.内积,内积空间,度量矩阵设V为数域F(或)上的线性空间.若对于任意的(,)VV,F中存在唯一的数与之对应,该数记为,,且,,V,kF,有(1),=,;(2)+,=,+,;(3)k,=k,;(4),0,且等号成立=0,则称,为与的内积,称V为内积空间

2、.——共轭对称性定义2.1.1第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念,0=0=0,.注①内积空间V()称为酉空间.内积空间V()称为欧氏空间.注②,+=+,=,+,=,+,=,+,,,k=k,=k,=k,=k,,第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念在n中定义X,Y=YTX,则n为欧氏空间.则n为酉空间.注:上述两个例子中的内积称为标准内积.一般情况下,如果不特别声明,则n和n中的内积均指标准内积.则n为欧氏空间.

3、X,Y=YTAX,例1在n中定义X,Y=YHX,例2设A为n阶正定矩阵,在n中定义例3第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念在nn中定义A,B=tr(ABH).证明nn为酉空间.(2)A+B,C=tr((A+B)CH)=…=tr(ACH)+tr(BCH)=A,C+B,C.(3)kA,B=tr(kABH)=ktr(ABH)=kA,B.(4)A,A=tr(AAH)=A1A1H+…+AnAnH0,(其中Ai为A的第i行,i=1,…,n)且等号成立Ai=0A=O.证明:(1)B,A=tr(BAH)=tr((B

4、AH)T)=tr(ABT)=tr(ABH)=tr(ABH)=tr(ABH)=A,B.例4第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念例5证明C[a,b]为欧氏空间.f(x),g(x)C[a,b],定义f(x),g(x)=f(x)g(x)dx.ba证明:(1)f(x),g(x)=…=g(x),f(x);(2)f(x)+g(x),h(x)=…=f(x),h(x)+g(x),h(x);(3)kf(x),g(x)=…=kf(x),g(x);(4)f(x),f(x)=…0,且等号成立f(x)0.设C[a,b]={[

5、a,b]上的全体连续实函数}.第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn=x1(1,1y1+1,2y2+…+1,nyn)+x2(2,1y1+2,2y2+…+2,nyn)+xn(n,1y1+n,2y2+…+n,nyn)+…=(x1,x2,…,xn)1,1y1+1,2y2+…+1,nyn2,1y1+2,2y2+…+2,nynn,1y1+n,2y2+…+

6、n,nyn…第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn=(x1,x2,…,xn)1,1y1+1,2y2+…+1,nyn2,1y1+2,2y2+…+2,nynn,1y1+n,2y2+…+n,nyn…=(x1,x2,…,xn)y1y2yn…1,12,1n,1…1,n2,nn,n1,22,2n,2……………第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间

7、的基本概念定义2.1.2令gij=i,j(i,j=1,…,n),则称n阶矩阵G=(gij)为基1,…,n的度量矩阵.故GH=G.注:gji=j,i=i,j=gij,1,12,1n,1…1,n2,nn,n1,22,2n,2……………设1,…,n为内积空间V的一组基.第二章内积空间与等距变换§2.1内积空间的基本概念x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn=(x1,x2,…,xn)y1y2yn…1,12,1n,1

8、…1,n2