工程矩阵理论第1章-线性空间与线性变换

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1、主讲:张小向http://math.seu.edu.cn工程矩阵理论东南大学硕士研究生学位课程第一章线性空间与线性变换第一节线性空间的基本概念第二节基,维数与坐标变换第三节子空间的和与交第四节线性映射第五节线性映射的矩阵第六节线性映射的值域与核第七节几何空间线性变换的例子第八节线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念§1.1线性空间的基本概念一.几个具体的例子a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn1.n={(a1,…,an)T

2、a1,…,an}.(特例:2,3).2.[x]=

3、{a0+a1x+…+anxn

4、a1,…,an}.3.Mmn()=诸aij.n第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念6.V={}.1.n.2.[x].3.Mmn().非空集合两种运算系数域八条规则共同点4.{f(x)

5、f:}.5.+={x

6、x>0}.ab=ab,a,b+;ka=ak,a+,k.+=,k=,k.第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念二.线性空间的定义与性质定义1.1.1线性空间V(F).V——非空集合F——数域加法数乘1=(k+l)=k+l

7、k(l)=(kl)k(+)=k+k交换律有零元素结合律每个元素都有负元素第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念定理1.1.1.(1)零向量唯一;(2)任一向量的负向量唯一;(3)0=;(4)k=;(5)(1)=,(k)=(k);(6)k=k=0或=.第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念三.线性组合,线性表示1.设1,…,kV(F),x1,…,xkF,x11+…+xkk为1,…,k的一个线性组合.2.设1,…,k,V(F).若x1,…,

8、xkFs.t.=x11+…+xkk则称能由向量组1,…,k线性表示.则称3.若1,…,l都能由1,…,k线性表示,则称向量组1,…,l能由1,…,k线性表示.第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念四.形式矩阵设1,…,k,1,…,kV(F).1.若1=1,…,k=k,则记(1,…,k)=(1,…,k).2.规定(1,…,k)+(1,…,k)=(1+1,…,k+k).3.若aF,则规定a(1,…,k)=(a1,…,ak).第一章线性空间与线

9、性变换§1.1线性空间的基本概念5.若A=(A1,…,As)Mks(F),则规定(1,…,k)A=((1,…,k)A1,…,(1,…,k)As).4.若x1,…,xkF,则记x11+…+xkk=(1,…,k).x1xk…第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念注:设1,…,k,1,…,kV(F).a,bF,A,BMks(F),CMst(F).记=(1,…,k),=(1,…,k),则可以验证下列等式成立:①a(+)=a+a,②(a+b)=a+b,③a(

10、b)=(ab).④(+)A=A+A,⑤(A+B)=A+B,⑥(A)C=(AC),⑦(a)A=a(A)=(aA).第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念五.线性空间的子空间定义1.1.2子空间,WV(F)WV(F)W关于的加法和数乘封闭.定理1.1.2.设WV(F),则注:V(F)的两个平凡的子空间.{},V(F)第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间的基本概念六.由子集合{1,2,…,k}生成的子空间W={xii

11、xiF}.ki=1记为L[1,2,…,k]

12、或span{1,2,…,k}.{1,2,…,k}——生成系,生成元集xii——1,2,…,k的一个线性组合ki=1组合系数第一章线性空间与线性变换§1.2基,维数与坐标变换§1.2基,维数与坐标变换一.向量组的线性相关性(II)1,2,…,t线性表示,则st.定义1.2.1线性相关,线性无关.定理1.2.1设(I)1,2,…,s线性无关,且能由推论1设(I)与(II)都线性无关,且等价,则s=t.推论2设(I)能由(II)线性表示,且s>t,则(I)必线性相关.第一章线性空间与线性变换§1.2基

13、,维数与坐标变换二.基、维数定义1.2.2基,维数.例子.6.V={}.1.n.2.[x],3.Mmn().4.{f(x)

14、f:}.5.+={x

15、x>0}.ab=ab,a,b+;ka=ak,a+,k.[x]n={a0+a1x