矩阵理论第一章线性空间与线性变换.ppt

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1、第一章线性空间与线性变换本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。§1、线性空间线性空间是线性代数

2、最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。一、从向量谈起而且这两种运算满足下面8条运算律：对于平面中的任意向量，我们已定义过加法及数乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的结果仍在中。具有加法单位元（零向量），使得具有加法逆元（负向量），使得根据线性代数的知识，二维空间显然可推广到维向量空间。并且数乘所依赖的实数域也可推广到复数域。相应的向量空间分别称为实向量空间

3、和复向量空间。我们知道，向量是特殊的矩阵。所有阶的实矩阵的集合对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。不过这里的“向量”是实矩阵！！二、线性空间(LinearSpace)的概念定义1如果非空集合对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合为数域上的线性空间或向量空间：具有加法单位元（零向量），使得具有加法逆元（负向量），使得注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。例4次数不超过的所有实系数多项式按通常多项

4、式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间例3闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间例2所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。例5所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间。例6齐次线性方程组的所有解的集合构成数域上的线性空间，称为的解空间，或矩阵的核空间或零空间，即例7所有矩阵向量积的集合构成数域上的线性空间，称为矩阵的列空间或值域，也称为矩阵的像，即例8集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。例9线性非齐次方程组的解集不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解

5、系，为的一个特解。对于及，定义判断是否构成上的线性空间.例10设数域为，集合为三、线性空间的基本性质定理11如果是数域上的线性空间，则线性空间中的零向量是唯一的。线性空间中的每个向量的负向量是唯一的。当时，有或当时，有定义12设是线性空间的非空子集。如果在中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称是的（线性）子空间。前述矩阵的核空间显然是的子集，这说明线性空间的子集也可能是线性空间。四、线性子空间(Subspace)例13集合是向量空间。它是在平面上的投影子空间。例14中过原点的直线是的一个子空间。定理15（子空间判别法）数

6、域上的线性空间的非空子集是的子空间的充要条件是对中的两种运算都封闭，即(i)对任意的，有(ii)对任意的，有判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性空间，就比较方便了。例16已知是数域上的线性空间，，则集合是的一个子空间。称为由向量所生成的子空间，记为或一般地，由线性空间中的向量组所生成的线性空间记作或例17对任意，是的子空间；是的子空间。§2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一

7、般线性空间。尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension)定义1给定线性空间，如果存在中的一组向量，满足：（1）线性无关；（2）中任意向量都能由线性表示。即存在数，使则向量组就称为的一个基，系数就称为向量在此基下的坐标，基中的向量个数称为线性空间的维数，记为几点说明（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.（2）若向量组是线性空间的一个基，则可表示

8、为（3）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.（4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性空间.（5）的0维子空间是，1维子空间是经过原点的任意直线，2维子空间是经过原点的任意平面，3维子空间是它自身。（6）中，不经过原点的任意直线的集合显然可看成某个经过原点的直线集合（显然是