第10讲：向量的内积与正交矩阵.ppt

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1、§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质定义:n维向量的内积内积的性质:二、向量的长度及性质定义:n维向量x的长度(或范数)长度的性质：长度为1的向量叫单位向量;任意一个非零向量x,此外向量的内积满足Schwarz不等式:于是对非零向量x,y,定义x与y的夹角三、正交向量组的概念及求法当[x,y]=0时,称向量x与y正交;特别地,零向量与任何向量都正交.一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组．定理:正交向量组必线性无关．在实际应用中,常以正交向量组作为向量空间的基，叫做向量空间的正交基;而由单位向量构成的正交基叫做规范正交基(或标准正交

2、基).例:已知R3中两个正交向量构成R3的一个正交基.解：四、规范正交基的求法(1)先使用Schimidt正交化法正交化:（2）再单位化，取例用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解:先正交化，取续解:已正交化得再单位化得规范正交向量组五、正交矩阵与正交变换定义:若n阶方阵A满足ATA=E(即A－1=AT),则称A为正交矩阵(简称为正交阵).方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量都是单位向量且两两正交．正交矩阵的性质:设A,B为n阶正交矩阵,则(1)A－1=AT也为正交矩阵,且

3、A

4、=1或－1.(2)AB也为正交矩阵.定义:若P为正交阵,则线性变

5、换y=Px称为正交变换.正交变换的性质:(1)正交变换可逆，且其逆变换也是正交变换.(2)正交变换保持向量的内积及长度不变．例：判别矩阵A=是否为正交阵？解：只需验证ATA是否等于E？由于所以A是正交矩阵.例：设实对称阵A满足证明：A+3E为正交矩阵.证：因为所以A+3E是正交矩阵.