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1、2.5向量空间内积与正交矩阵定义2.15：设V是非空子集，且对向量的加法与乘法封闭，即：(1)对任意的α,β∈V,有α+β∈V;(2)对任意的α∈V和k∈R,有kα∈W.一、向量空间首先，我们记全体实n维列向量之集合为则称V是一个向量空间。例1：验证下列集合是否构成Rn的一个子空间:(1)L=[(0,a2,…,an-1,an)
2、ai∈R]定义2.16：向量空间V中有向量1,2,…,n.若(1)1,2,…,n线性无关;(2)V中任意一向量都可由1,2,…,n线性表示,则称向量组1,2,
3、…,n为V的一个基.称n为V的维数,简记n=dimV.基---极大无关组维数---向量组的秩注1：向量空间的任两个基等价。注2：与基等价的线性无关向量组都可作为基。注3：r维向量空间中的任何r个线性无关的向量都可作为基。定义:设1,2,…,n是n维线性空间V的一个基,则对V中任意一向量，有且仅有一组数x1,x2,…,xn,使得称有序数(x1,x2,…,xn)T为在基1,2,…,n下的坐标.的坐标(x1,x2,…,xn)T由基1,2,…,n惟一确定.例2已知向量组证明1,2,
4、3为R3的基,并求向量在该基下的坐标.例2已知向量组证明1,2,3为R3的基,并求向量在该基下的坐标.只需证明1,2,3线性无关,则1,2,3就是R3的基.再求向量在基1,2,3下的坐标设则有思考：在基下的坐标是什么？自然基若r(A)=r,则Ax=0的基础解系由n-r个线性无关的解向量1,2,…,n-r组成,则1,2,…,n-r就是Ax=0的解空间S的基.dimS=n-r.例3：考虑集合易知S为向量空间,思考：若集合S还为向量空间吗？例4：设记则构成向量空间，称为
5、由生成的子空间，称为的生成元组。维=秩
