向量的内积与正交

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1、主讲教师:张伟线性代数1第四章一、向量的内积与正交四、实对称矩阵的对角化相似矩阵与二次型三、相似矩阵二、方阵的特征值与特征向量五、二次型及其矩阵表示六、化二次型为标准形2一、向量的内积二、正交向量组三、正交矩阵第一节向量的内积与正交第四章3设称为向量与的内积.定义了内积的向量空间叫做欧氏空间。，为行向量，简记，为列向量，简记定义1一、向量的内积4设时等式成立当且仅当都是n维向量，K为实数则有下面证明30。性质5设称为的长度。当时，称为单位向量。定义2当时，称与正交。显然，若那么与任何向量都正交。定义36对于证明证明的规范化(单位化)向量。称为例1例2将

2、向量单位化。解7二、正交向量组设有非零向量组如果其中任意两个不同的向量都是正交的，即则称该向量组为正交向量组。8定理1中两两正交、非零向量组一定线性无关。证明设有一组数使作内积两边与线性无关。故9但线性无关向量组却不一定是正交向量组。例如是线性无关的向量组，但是由于因此，它不是正交向量组。正交向量组是线性无关的向量组，10例3单位化得求与都正交的单位向量。设所求向量为解即为所求的向量令得11都是的标准正交基。在欧氏空间中，若满足称为标准正交基。例如在中，及定义412求在标准正交基下的坐标。解作内积两边与例413定理2设是欧氏空间中的一个令线性无关向量组

3、。…则是正交向量组，等价。并且与施密特正交化方法14正交化，取解先将化成标准正交基.例5试用施密特正交化过程求与线性无关的向量组等价的单位正交化向量组（正交化，标准化）。15即是一组标准正交基。单位化为等价的单位正交化向量组。16在本例的计算过程中，的分量是分数，为了计算方便，我们也可以取来代替此时同样可得正交向量然后再标准化，仍可得标准正交向量组17三、正交矩阵是n阶方阵,若是正交矩阵称性质2的列(行)向量组为正交单位向量组标准正交基)是正交矩阵证明设则定义5性质1是正交矩阵则A可逆且设18A为正交阵例5观察下列矩阵是否为正交矩阵即A的n个列向量是单

4、位正交向量组。解则A是正交矩阵。19则B是正交矩阵。则C不是正交矩阵。20性质3设A、B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。证因为A、B都是正交矩阵，则则AB也是正交矩阵。性质4设A是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质5设A是正交矩阵，则21例6为阶正交阵，则或(1)(2)是正交矩阵证明(1)(2)可逆，从而22