向量的内积、长度及正交性

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1、第一节向量的内积、长度及正交性相似矩阵及二次型一、向量的内积及其性质二、正交向量组、规范正交基三、正交矩阵、正交变换四、小结思考题返回上页下页一、向量的内积1.向量的内积规定和的内积为定义1设两个n维向量，n维向量的内积是几何向量内积(也称为点积、点乘、数量积、标量积)的推广.(即，对应分量的乘积之和)返回上页下页说明则，内积可用矩阵记号表示为(1)当和都为列向量时(一般做法)，返回上页下页，等号成立当且仅当.④①(交换律)②(结合律)③(分配律)根据定义，容易证明内积具有如下运算性质：(设,,为n维实向量，k为实数)(2)

2、若已知是行向量，为列向量，则内积应为上页下页2.向量的长度(2)任意非零向量，可通过长度进行单位化，是单位向量.即，定义2设n维向量规定的长度(或范数)为(1)若，则称向量为单位向量.说明返回返回上页下页例1已知解计算两个向量单位化后的内积.返回上页下页证参见.定理1向量的内积满足即(称为Cauchy-Schwarz不等式)向量长度的性质：②(齐次性)③(三角不等式)性质①②显然成立，性质③的证明参见.附录1附录2①等号成立当且仅当；(非负性)根据定义，如果非零向量,的内积，则夹角=90o；反之亦然.返回上页下页3.向量的

3、夹角定义3规定n维向量和的夹角为定理2非零向量,正交(或垂直)的充要条件是说明由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也可以说零向量与任何向量正交.因此返回上页下页对于齐次线性方程组Amnx=O，即Ax=O的每个解向量都和矩阵A的每个行向量正交.因此，Ax=O的解集(即解空间)就是与A的行向量都正交的全部向量的集合.这是Ax=O的解空间的一个基本性质.返回上页下页例2已知R3中的两个向量正交，求一个非零向量3，使得1,2,3两两正交.分析已知1,2相互正交，故只需求出与1,2都正交的一个向量.以作为行向量构成矩阵，

4、则Ax=O的解和正交(亦和1,2正交).返回上页下页令建立齐次线性方程组Ax=O，解方程组(过程略)，可得基础解系解于是，和1,2都正交的非零向量3可表示为(k为非零实数)即返回上页下页二、正交向量组、规范正交基设是非零正交向量组，1.正交向量组即(非零)(正交)一组两两正交且不含零向量的向量组，称为非零正交向量组.定理3非零正交向量组是线性无关的.证返回上页下页设(*)对(*)式两端同时左乘，得由于各向量两两正交，故其中，因此，必有.同理，对(*)式两端同时左乘，可得.证毕证明线性无关，就是要证明上式中的组合系数必须全为零.返

5、回上页下页2.规范正交基例如，是R2的一个规范正交基.是正交单位向量组，则称定义4设是r维向量空间V的一组基.如果是V的一个规范正交基.一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组，即设是向量空间V的一组规范正交基，返回上页下页设证则则向量在这组基下的坐标向量的第j个分量为基坐标向量返回上页下页3.施密特(Schimidt)正交化方法施密特正交化方法：一组线性无关的非零向量与等价的正交单位向量组作特定的线性运算返回上页下页施密特正交化方法的基本步骤和思路：设是一组线性无关的非零向量.②取求，使得，即2和1正交.①取得返回上页下页③

6、取令，，可得于是，于是返回上页下页④不断重复以上步骤，直到最后有通过①②③④的正交化步骤，得到正交向量组：即(作为练习，证明都是非零向量)最后，再将单位化为，返回上页下页施密特正交化步骤小结：首先将线性无关的非零向量组正交化：令返回上页下页再将得到的正交向量组单位化：这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后,可能不再是单位向量.说明(1)正确的顺序是先正交化，再单位化.(2)向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这称为：对基进行规范正交化.返回上页下页例3解用施密特正交化方法将这组基规范正交

7、化.设R3的一组基为取首先将正交化：返回上页下页再把单位化，返回上页下页例4已知解令矩阵，(的解与A的行向量正交，亦即与正交)求两个向量，与共同构成非零正交向量组.即建立方程组，返回上页下页1,2线性无关，且都与正交.再将1,2正交化：取于是，是一个非零正交向量组.解Ax=O，得基础解系三、正交矩阵、正交变换返回上页下页1.正交矩阵定义5若n阶方阵A满足ATA=E，则A为正交矩阵.根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：设A,B皆为n阶正交矩阵，则①②(即)也是正交矩阵；③AB也是正交矩阵；④返回上页下页按列分块为设，证定理4A为

8、n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量组是正交单位向量组.返回上页下页说明Rn的规范正交基是“(含n个n维向量的)正交单位向量组”.因此，定理4亦可表述为A为n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量