§1向量的内积,长度及正交性

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1、§1向量的内积、长度及正交性主要内容：一、向量内积的定义及其性质二、向量的长度及其性质三、正交向量组的定义及其性质四、正交向量组的求解五、正交矩阵的定义及其性质六、正交变换的定义§1向量的内积、长度及正交性定义:设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn]=xTy,[x,y]称为向量x与y的内积.§1向量的内积、长度及正交性例§1向量的内积、长度及正交性内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数):(ⅰ)[x,y]=[y,x];(ⅱ)[λx,y]=λ[x,y];(ⅲ)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(ⅳ)当x

2、=o,[x,x]=0;当x≠o,[x,x]>0.§1向量的内积、长度及正交性定义:施瓦茨(Schwarz)不等式[x,y]2≤[x,x][y,y].定义:令‖x‖‖x‖称为n维向量x的长度(或范数).定义:当‖x‖=1时,称x为单位向量.§1向量的内积、长度及正交性例§1向量的内积、长度及正交性向量的长度具有下述性质:(ⅰ)非负性当x≠o时‖x‖>0,当x=o时,‖x‖=0;(ⅱ)齐次性‖λx‖=

3、λ

4、‖x‖;(ⅲ)三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.§1向量的内积、长度及正交性定义:当x≠0,y≠0时,称为n维向量x与y的夹角.定义:当[

5、x,y]=0时,称向量x与y正交.§1向量的内积、长度及正交性例§1向量的内积、长度及正交性说明:当x=o时,x与任何向量都正交.定义:所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量.定理若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,ar线性无关.§1向量的内积、长度及正交性例已知三维向量空间中两个向量正交,试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交.解设记§1向量的内积、长度及正交性§1向量的内积、长度及正交性定义:设n维向量e1,e2,…,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,…,er两两正交,

6、且都是单位向量,则称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基.就是R4的一个规范正交基.例§1向量的内积、长度及正交性定义:设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,…,er,使e1,e2,…,er与a1,a2,…,ar等价.这样的问题称为把a1,a2,…,ar这个基规范正交化.§1向量的内积、长度及正交性容易验证b1,b2,…,br两两正交,且b1,b2,…,br与a1,a2,…,ar等价.把a1,a2,…,ar这个基规范正交化的方法§1向量的内积、长度及正交性定义:从线

7、性无关向量组a1,a2,…,ar导出正交向量组b1,b2,…,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.说明:(1)b1,b2,…,br与a1,a2,…,ar等价,(2)还满足对任何k(1≤k≤r),向量组b1,b2,…,bk与a1,a2,…,ak等价.§1向量的内积、长度及正交性例§1向量的内积、长度及正交性§1向量的内积、长度及正交性§1向量的内积、长度及正交性定义:如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A-1=AT),那么称为A正交矩阵,简称正交阵.将ATA=E用列向量表示,即§1向量的内积、长度及正交性§1向量的内积、长度及正交性

8、说明:(1)方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量,且两两正交.(2)方阵A为正交矩阵的充要条件是A的行向量都是单位向量,且两两正交.§1向量的内积、长度及正交性例§1向量的内积、长度及正交性正交矩阵具有下列性质:(ⅰ)若A为正交矩阵,则A-1=AT也是正交矩阵,且

9、A

10、=1或(-1);(ⅱ)若A和B都为正交矩阵,则A和B也是正交矩阵.§1向量的内积、长度及正交性定义:若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.说明:§1向量的内积、长度及正交性总结1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化

11、．2.正交矩阵具有下列性质:(ⅰ)若A为正交矩阵,则A-1=AT也是正交矩阵,且

12、A

13、=1或(-1);(ⅱ)若A和B都为正交矩阵,则A和B也是正交矩阵.