§1向量内积、长度和正交性.ppt

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1、§1向量的内积、长度及正交性相似矩阵及二次型上堂课主要内容：对向量1、内积：2、向量的长度：设当时，称为单位向量3、单位向量：4、正交：如果向量与满足，则称向量与正交。取向量，返回上下页一、向量的内积1.向量的内积规定和的内积为定义1设有n维向量，n维向量的内积是几何向量内积的推广.(即，对应分量的乘积之和)页返回上页下页说明则，内积可用矩阵记号表示为(1)当和都为列向量时(一般做法)，返回上页下页，等号成立当且仅当.④①(交换律)②(结合律)③(分配律)根据定义，容易证明内积具有如下运算性质：(设,,为n维实向量，k为实数)(2)若已知是行向量，

2、为列向量，则内积应为向量内积的性质：且等号成立证（3）证（4）设且当且仅当即时，成立。设均为n维向量，为实数，则上页下页2.向量的长度定义2设n维向量规定的长度(或范数)为返回返回上页下页例1已知解计算两个向量单位化后的内积.返回上页下页定理1向量的内积满足即(称为Cauchy-Schwarz不等式)向量长度的性质：②(齐次性)③(三角不等式)①等号成立当且仅当；(非负性)根据定义，如果非零向量,的内积，则夹角=90o；反之亦然.返回上页下页3.向量的夹角定义3规定n维向量和的夹角为定理2非零向量,正交(或垂直)的充要条件是返回上页下页例2已知R3中

3、的两个向量正交，求一个非零向量3，使得1,2,3两两正交.分析已知1,2相互正交，故只需求出与1,2都正交的一个向量.以作为行向量构成矩阵，则Ax=O的解和正交(亦和1,2正交).返回上页下页令建立齐次线性方程组Ax=O，解方程组(过程略)，可得基础解系解于是，和1,2都正交的非零向量3可表示为(k为非零实数)即返回上页下页二、正交向量组、规范正交基设是非零正交向量组，1.正交向量组即(非零)(正交)一组两两正交且不含零向量的向量组,称为非零正交向量组.定理3非零正交向量组是线性无关的.证返回上页下页设(1)对(1)式两端同时左乘,得由于各

4、向量两两正交，故其中，因此，必有.同理，对(1)式两端同时左乘，可得.证毕证明线性无关，就是要证明上式中的组合系数必须全为零.返回上页下页2.规范正交基例如，是R2的一个规范正交基.是正交单位向量组，则称定义4设是r维向量空间V的一组基.如果是V的一个规范正交基.一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组，即设是向量空间V的一组规范正交基，返回上页下页设证则则向量在这组基下的坐标向量的第j个分量为三、正交矩阵、正交变换返回上页下页1.正交矩阵定义5若n阶方阵A满足ATA=E，则A为正交矩阵.根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：设A,B皆为n阶正交矩阵，则①②

5、(即)也是正交矩阵；③AB也是正交矩阵；④返回上页下页按列分块为设，证定理4A为n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量组是正交单位向量组.返回上页下页说明Rn的规范正交基是“(含n个n维向量的)正交单位向量组”.因此，定理4亦可表述为:A为n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量组是Rn的一组规范正交基”.因此，的充要条件是：.证毕返回上页下页A的列向量都是单位向量，且两两正交，例3验证是正交矩阵.解故A是正交矩阵.返回上页下页2.正交变换【回顾】从变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,ym的“线性变换”可表为即,记作y=Ax.返回上页下页定义6若A为正交矩阵，则

6、线性变换y=Ax称为正交变换.即正交变换的性质设：n维列向量,A,A(A为正交矩阵)，则向量的内积与长度以及向量间的夹角都保持不变.正交变换§2矩阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型返回上页下页一、特征值和特征向量的概念则称：是矩阵A的特征值；定义1设A是n阶矩阵，如果存在数和非零向量x,使得x是A的对应于(或属于)特征值的特征向量.返回上页下页(2)由于亦可写成齐次线性方程组说明(1)特征向量xO；特征值问题是对方阵而言的；因此，使得有非零解的值都是矩阵A的特征值.即，使得的值都是矩阵A的特征值.返回上页下页定义2设n阶矩阵，记则，称为A的特征

7、多项式；称为A的特征矩阵.称为A的特征方程；上页下页返回说明(n阶矩阵A的特征多项式)(1)是的n次多项式，若设其一般形式为则，的系数；的系数；常数项.返回上页下页(2)求特征值，就是求特征方程的根；(3)有n个根(其中有些根可能相同)，其中的k重根也称为k重特征值.(4)需要注意，即使是n阶实矩阵，但其特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量.特征向量(是全体n维复向量构成的向量空间)即，一般而言，特征值(复数域)返回上页下页例1求矩阵的特征值和特征向量.解A的特征多项式为令，得A的3个特征值：(单重特征值)(二重特征值)返回上页下页将特征值分