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时间：2021-03-28
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1、§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换1.定义1内积一、内积的定义及性质(Innerproduct)2.内积的运算性质施瓦茨不等式1.定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)解单位向量夹角2.１正交的概念２正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)证明３正交向量组的性质定理1例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个
2、正交基.４向量空间的正交基即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解５规范正交基例如定义3同理可知６求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）(2)单位化,取(1)正交化,取，例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取施密特正交化过程再单位化，得规范正交向量组如下例３解再把它们单位化，取解把基础解系正交化，即合所求．亦即取定义4定理四、正交矩阵与正交变换为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．定义5若为正交阵，则线
3、性变换称为正交变换．性质正交变换保持向量的长度不变.证明解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于例５判别下列矩阵是否为正交阵．所以它是正交矩阵．由于例６解
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