资源描述：
《§1 向量的内积、长度及正交性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换一、内积定义及性质1.定义1设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2++xnyn,称[x,y]为向量x与y的内积(Innerproduct).说明1.n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义．2.若向量x与y均为列向量,内积可用矩阵记法表示为:[x,y]=xTy.2.内积的运算性质(其中x,y,z为n维向量,为实数).(1)[x,y]=[y,
2、x];(2)[x,y]=[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)当x=时,[x,x]=0;当x时,[x,x]0.施瓦茨(Schwarz)不等式:[x,y]2[x,x][y,y].1.定义2令二、向量的长度及性质称
3、
4、x
5、
6、为n维向量x的长度(或范数).向量的长度具有下述性质：(1)非负性:当x=时,
7、
8、x
9、
10、=0;当x时,
11、
12、x
13、
14、0.(2)齐次性:
15、
16、x
17、
18、=
19、
20、
21、
22、x
23、
24、;(3)三角不等式:
25、
26、x+y
27、
28、
29、
30、x
31、
32、+
33、
34、y
35、
36、;(4)
37、[x,y]
38、
39、
40、
41、x
42、
43、
44、
45、y
46、
47、.当
48、
49、x
50、
51、
52、
53、y
54、
55、0时,有:2.当
56、
57、x
58、
59、=1时,称x为单位向量.若,则为单位向量.若,称为把向量单位化.解(3)当
60、
61、x
62、
63、
64、
65、y
66、
67、0时,称为向量x与y的夹角.1.当[x,y]=0时,称向量x与y的正交.三、正交向量组的概念及求法有[x,y]=0,故向量x与y正交.由定义可知:若x=时,则x与任何向量都正交.2.若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组．定理若n维向量1,2,,r是正交向量组,则1,2,,
68、r线性无关.证明定理若n维向量1,2,,r是正交向量组,则1,2,,r线性无关.3.正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.4.向量空间的正交基例1已知R3空间中两个向量正交,试求3使1,2,3构成R3的一个正交基.解题分析:即求3使1,2,3为正交向量组.解设3=(x1,x2,x3)T,且与1,2正交,则有解得：令x3=1,得:3=(1,0,1)T,则1,2,3构成R3的一个正交基.5.规范正交基例如定义(标准)同理可知：初始单位向量组
69、6、求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）(1)正交化取b1=a1,(2)单位化例2用施密特正交化方法将向量组正交规范化:解取b1=a1=(1,1,1,1)T,单位化得如下规范正交向量组:例2解定义4四、正交矩阵与正交变换定理A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交．例5判别下列矩阵是否为正交阵．正交矩阵的性质：定义若P为正交阵,称线性变换y=Px为正交变换．性质正交变换保持向量的长度不变．证明1.施密特正交
70、化方法将一组基规范正交化的方法：五、小结2.A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
