线代课件§1向量的内积、长度及正交性

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1、§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换1.定义1内积一、内积的定义及性质说明1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．(Innerproduct)2.内积的运算性质1.定义2长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)单位向量2.解夹角1、正交的概念２、正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)

2、证明３、正交向量组的性质定理14、正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.5、向量空间的正交基例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解6、规范正交基例如定义(标准)同理可知7、求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）(2)单位化,取(1)正交化,取，例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取施密特正交化过程再单位化，得规范正交向

3、量组如下例解把基础解系正交化，即合所求．亦即取定义4四、正交矩阵与正交变换定理A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交．例５判别下列矩阵是否为正交阵．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于例５判别下列矩阵是否为正交阵．所以它是正交矩阵．由于正交矩阵的性质：定义若P为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换．性质正交变换保持向量的长度不变．证明1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．五、小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单

4、位向量，使它与正交．思考题思考题解答