24 内积空间中的正交性

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1、2.4内积空间中的正交性InnerProductSpacesandOrthogonality在三维空间中，如右图1所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？图2.4.1三维空间向量的分解，向量，其中2.4.1正交分解定义2.4.1正交设是内积空间，，如果，则称与正交或垂直，记为．如果的子集中的每一个向量都与子集中的每一个向量正交，则称与正交，记为．特别记，即向量与中的每一个向量垂直．定理2.4.1勾股定理设是内积空间，，若，则．证明

2、．□注1:在内积空间中，是否存在？显然由，可知在实内积空间中成立．定义2.4.2正交补Orthogonalcomplement设是内积空间，，记，则称为子集的正交补．显然有，以及．性质2.4.1设是内积空间，，则是的闭线性子空间．证明(1)是的线性子空间，，，有，于是，因此是的线性子空间．(2)是的闭子空间设，且依范数，于是，有．因此，即是的闭子空间．□注2:由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间中(完备的内积空间)，任意子集的正交补是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补也是Hilbert空间．定义2.

3、4.3正交分解设是内积空间的子空间，，如果存在，使得，则称为在上的正交投影或正交分解．引理2.4.1设是内积空间，是的线性子空间，，若存在，使得，那么．证明令，若不垂直于，则存在，使得，显然．因为，有特别取，则可得，即知．又由于，所以．产生矛盾，故．□定理2.4.1投影定理设是Hilbert空间的闭线性子空间，则中的元素在中存在唯一的正交投影，即，，其中．(或表示为)证明(1)寻找进行分解．，设，则存在，使得，首先证是中的基本列，因为有因为及是子空间，知，所以，于是故是中的基本列，又因是闭子空间，即为完备空间，所以是中的收敛列．不妨设，则有．令，

4、因此有，其中，且根据前面引理知．(2)分解的唯一性．假设还存在，使得，那么有，，于是只需的分解具有唯一性．若，，，则可见及，即的分解具有唯一性．□例2.4.1证明在内积空间上，的充要条件是有．证明必要性若，则有，有，于是由勾股定理得：．充分性若有，且时，特别取，于是，故，即．□2.4.2标准正交系在三维空间中，任何一向量可写成，其中，，，，，，显然当时，，而．可见，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢？定义2.4.4标准正交系设是内积空间，是中的点列，若满足．则称为中的标准正交系．例2.4.2在维内积空间中，向量组，，，，是的一个标准正交系

5、．□例2.4.3在中，向量()，则是的一个标准正交系．□例2.4.4在中，对于，定义内积为则下列三组向量均是的标准正交系，；；．□注3:如果线性空间上中的点列的任意有限个元素线性独立，则称为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设是标准正交系的一个有限子集，如果存在使得，那么对于任意的().反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系．定理2.4.2设为内积空间的标准正交系，，记，那么，是在上的正交投影．即，，．证明显然，，由于存在，使得于是．□注4:上述定理中的为维闭子空间，作为内积空间与同构，也是完备的子空间，根据投影定理，在上的正

6、交投影唯一存在．定理2.4.3设为内积空间中任意的一组线性独立系，则可将用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系，且对任何自然数，有，，同时．证明令，则有．记，根据上述定理可将在上做正交分解，即，，得．令，则有，，且有，．记，将在上做正交分解，则及，得，可令，从而治是的线性组合，是的线性组合．以此类推，可令，且有正交，进而令，显然，于是．同时可得是的线性组合．□线性与非线性泛函◇-63-