5.2 内积空间中的正交与投影

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1、5.2内积空间中的正交与投影5.2.1正交和投影定义5.2.1设是内积空间，，若，则称与正交，记作.设，当与中所有向量都直交时，称与正交，记作.设，若对，都有，则称与正交，记作.设，记，并称之为的正交补（集）。注.正交性质：(1)若，则；(2)若，则;(3)若，则；(4)对，恒有；注不意味着.(5)勾股弦定理：当时，.引理5.2.1设是内积空间，，则是的闭线性子空间。证（自证！）注因为未必是的闭线性子空间，所以一般地，，但有.若是的闭线性子空间，则.推论设，若是张成的闭线性子空间，则.证因为，所以.反过来，若，即，这时.由引理5.2.1知：是的闭子空间,而是包含的最小的闭集，所以6或得：.综上

2、所述，有.证毕！定义5.2.2设是内积空间，是的两个线性子空间，若，则称为与的正交和，记作.命题5.2.1设内积空间能分解为与的线性和则它为正交和.Infact,“”设，则由定义5.2.3知：.于是，故.同理可证.“”设，往证.因为已经分解为与的线性和：，所以，要证明，只需证明.因为，所以显然有.证毕！定义5.2.3设是内积空间的线性子空间，.若存在，使得(5.2.1)则称是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。注1是在上的（正交）投影，或在上的投影分量。6注2一般说来，对于内积空间的任意向量以及任意子空间，在上的投影并不一定存在。注3若在上有投影，则投影必定是唯一的。定理5.2.1设是内积空

3、间的线性子空间，.若是在上的投影，则,(5.2.2)且是中使(5.2.2)成立的惟一向量。证因为是在上的投影，所以.对于，因为，而，所以，故由“勾股定理”得(5.2.3)显然(5.2.3)式只有当时，等号才成立。由(5.2.3)知：(5.2.2)式成立，且(5.2.2)式中右边的下确界只有当时才能达到。证毕！5.2.2投影定理引理5.2.2（变分引理）设是内积空间中完备的凸集，.记(5.2.4)则必有唯一的，使得.证由下确界的定义，必定有中的点列，使得.这样的点列称为“极小化”序列。下面证明是基本点列。由平行四边形公式得：.(5.2.5)6因为是凸集，所以，因此.由(5.2.5)得：.令，则有

4、.所以是基本点列。因为是完备的，所以，使得.这时.若，使得，则点列显然是“极小化”序列。这说明，也就是说在中使的元是唯一的。唯一性另证：若，使得，则由平行四边形公式得：故证毕！引理5.2.3设是内积空间中的线性子空间，，.若，则，即.证任取，对任意数，因为，所以.(5.2.6)6令(这是使(5.2.6)式右端取极小值的)，就得到.因为，所以.这就证明了.证毕！定理5.2.2（投影定理）设是内积空间中的完备线性子空间，则对，在上的投影唯一地存在。即：存在，使得，且这种分解是唯一的。特别地，当时，.证由引理5.2.2，有，使得.由引理5.2.3得：.记，则，且，就是在上的投影。下证唯一性。设另有分

5、解，其中.因为，而，故，由此得.特别地，当时，因为,所以.证毕！推论1设是内积空间中的完备线性子空间，且，则在中必有非零元素。证因为，取，在上的投影记为，则，即.但是，因此，即中有非零元素。证毕！6推论2设是Hilbert空间中的线性子空间，则.()特别地，若，则在中稠密。()证由引理5.2.1，是的闭线性子空间，因而是完备的。显然，而是包含的最小闭集，所以.另一方面，也是Hilbert空间的闭线性子空间。若，则由推论1知：必有非零元素().由，由得：.因此，于是.这与矛盾。故.证毕！6