关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记 高等代数毕业论文

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1、莆田学院学士学位论文编号莆田学院毕业论文课题名称：关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级03级指导教师2007年6月13莆田学院学士学位论文目录摘要IIAbstractIII原创性声明（学生）IV原创性声明（指导老师）V0引言10.1记号说明10.2研究现状11预备知识22主要定理及证明23猜想1与猜想2的解决84猜想的应用9参考文献12致谢1313莆田学院学士学位论文关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记摘要采用分块矩阵，初等变换以及数学归纳法，证明了文献[1]中提出的猜想并对这个猜想进行推广。探讨Sylvester不等式的等号成立问题，从而得

2、到矩阵秩的和与矩阵乘积的秩两者之间的关系。【关键词】分块矩阵初等变换矩阵秩13莆田学院学士学位论文TheRemarktoTheSpeculationofAClassofMatrixRankIdentitiesAbstractByusingtheblockmatrix,theelementarytransformationaswellasthemathematicalinduction,wehadproventhespeculationintheliterature[1]andgeneralizedtheit.WediscussedthequestionthatmadetheSy

3、lvesterinequalitybeequal,thusobtainedtherela-tionshipbetweenthesumoftherankofmatrixandtherankoftheproductofmatrix.【KeyWords】Blockmatrix;Elementarytransformation;Matrixrank13莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出

4、重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位毕业设计（论文）作者签名：日期：年月日13莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期：年月日13莆田学院学士学位论文0引言0.1记号说明本文使用以下记号：表示矩阵的秩；表示矩阵是数域上的阶矩阵；表示矩阵是复数域上的阶矩阵；表示数域上

5、多项式环；表示相应阶数的单位矩阵.0.2研究现状本文所研究是矩阵秩的恒等式问题。众所周知，Sylvester不等式是矩阵秩的一个著名的结果，在求矩阵秩的相关问题中处于重要的地位，我们感兴趣的是其不等式何时取等号。如果Sylvester不等式能取等号，这将是一个很好的公式。文献[1]将Sylvester不等式中的矩阵限定为的形式，给出矩阵秩的一些恒等式结果并提出下列猜想：猜想1设，，当满足适当条件时，则猜想2设且，，当满足适当条件时，则其中是关于的多项式。2007年文献[2]将讨论的数域限制在复数域上，然后利用矩阵的Jordan标准形的性质证明了猜想1是正确的。Jordan标准形

6、是个很好的研究工具，但是它也存在局限性即Jordan标准形仅在复数域中有效。本文讨论的数域将不作限制，采用分块矩阵的性质及初等变换证明猜想1成立，进而证明猜想2亦13莆田学院学士学位论文成立，并对相关的矩阵的恒等式作进一步推广。1预备知识引理1[3]（著名的Sylvester不等式）设则引理2[3]①初等方阵从左边乘以矩阵A相当于对A作初等行变换.②初等方阵从右边乘以矩阵A相当于对A作初等列变换.③初等变换不改变矩阵的秩.引理3[4]①设则②则引理4[2]设两两可交换,那么当可逆时,引理5[5]设，若且矩阵的特征值全不为，则。2主要定理及证明定理1设，,当两两互异时,那么等价于

7、证明（采用数学归纳法）13莆田学院学士学位论文①当t=2时所以等价于故当t=2时结论成立.②当t=3时，13莆田学院学士学位论文所以等价于故当t=3结论成立.③假设对所有结论成立，则有等价于于是存在可逆矩阵使得13莆田学院学士学位论文=那么当时，由于互不相同，那么多顶式为两两互素。根据带余除法定理[6]知其中且.（若，则，这与两两互素矛盾）因此，矩阵多项式,.13莆田学院学士学位论文13莆田学院学士学位论文等价于故所以当时结论成立。即定理1得证。定理2设两两可交换。那么当可逆时,等价于。其中