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1、对一类矩阵秩恒等式探究证明摘要：在何种条件下，Sylvester不等式化为等式是当前研究的重点。本文利用？姿矩阵及其初等变换对应到分块矩阵diag{A+klE,A+k2E,・•・,A+ktE}中,使得当kl,k2,…，kt在满足一定的条件时，有・R(A+kiE)=RH(A+kiE)+(t-1)n.Abstract：Underanyconditions,tochangetheinequalitySylvesterintoequationisthefocusofthecurrentstudy.Thispaper
2、usedthe?姿matrixanditselementarytransformationtocorrespondtothepartitionedmatrixdiag{A+klE，A+k2E,・•・,A+ktE},sothatwhenkl,k2,・・・,ktmeetcertainconditions,thereare・R(A+kiE)=RH(A+kiE)+(t~l)n.关键词：秩；？姿矩阵；初等变换；分块阵Keywords:rank；?姿matrix；elementarytransformation；chu
3、nkedarray中图分类号：013文献标识码：A文章编号：1006-4311(2012)31-0241-020引言目前对Sylvester不等式推广研究的一个重点是如何将不等式化为等式。本文在引入？姿k=l.?姿k=?姿与Ak=E.Ak=A在实数域上分解，并且各自对他们所构成的对角阵进行初等变换后得出定理1这个结果及其他定理和推论。1预备知识定义1设P为任意数域，AWPmXn,B^PnXs,贝UR(A)+R(B)?燮n+R(AB)O关于Sylvester定理的证明方法很多，我们可以参考文献[1]O?姿矩阵
4、有初等变换•下面变换叫做？姿矩阵的初等变换：(i)矩阵的两行(列)互换位置，记为r[i,j](c[i,j])；(ii)矩阵的某行(列)乘非零常数k,记为r[i(k)'(c[i(k)])；(iii)矩阵的某行(列)加上另一行(列)的？鬃(？姿)倍，记为r[i+j(?鬃(？姿))](c[i+j(?鬃(？姿))])而对应分块矩阵的初等变换如下：(i)对调矩阵的两行(列)，记为r(i,j)(c[i,j])：(ii)矩阵分块行(列)乘非退化矩阵K,记为讥i(K)](c[i(K)])；(iii)将矩阵的某一行(列)的所
5、有子矩阵左乘一个矩阵K加上另一行(列),记为r[i+j(K)](c[i+j(K)])；引理1[1]任意一个非零的sXn的？姿矩阵A（?姿）都等价于下列形式的矩阵diagldl（?姿），d2（?姿），…,dr（?姿），0,…，0},其中r?叟1。推论lkl,k2,…，kt^C,当kl,k2,…，kt为两两互异的数时，有diag{?姿+",•••,?姿+kt}与diag{l,…,1,（?姿+kl）…（?姿+kt）}等价此结论的证明由引理1显然可得。符号说明：（i）R（A）代表矩阵A的秩；（ii）diag{dl,
6、d2,…，dn}代表对角矩阵A；2推导过程北京大学数学系几何与代数小组编的《高等代数》（第三版）中有两道习题：习题1：设AePnXn,则A2二E的充分必要条件是R（A+E）+R（A-E）=n习题2：设AePnXn,则A2二A的充分必要条件是R（A）+R（A-E）=n通过构造？姿-矩阵和分块矩阵并分别对他们进行初等变换如下：证明（习题1）构造矩阵？姿T00?姿+1和A+E00A-E,对它进行初等变换，得？姿+100?姿-1・？姿+1?姿-10?姿-1・2?姿-11-?姿？姿-1・201-?姿200■■100?
7、姿2-1相对应的，对A+E00A-E,对它进行初等变换A+E00A-EHA+EA-E0A-EH2EA-EE-AA-EB2E0E-A■■2E00"E00A2-E故由R(A+E)+R(A-E)二n+R(A2-E),有当且仅当A2=E,R(A+E)+R(A-E)=no证明(习题2)构造矩阵？姿-100?姿和A00A-E,对它进行初等变换，得？姿00?姿-1H?姿？姿-10?姿-1・1?姿-11-?姿？姿-1・101-?姿？姿2-？姿■100?姿2-?姿相对应的，对A00A-E,对它进行初等变换A00A-EHAA-
8、EOA-E・EA-EE-AA-E■EOE-AA2-EHE00A2~A故由R(A)+R(A-E)=n+R(A2-A),有当且仅当A2二A,R(A)+R(A-E)二n。3主要结论现在对上述6个例题进行归纳总结，即可注意到这样的结果：当？姿-100?姿2+?姿+1与100(?姿-1)(?姿2+?姿+1)等价，对分块初等阵进行同样的初等变换后有A-E00A2+A+E与E00(A-E)(A2+A+E)等价。此结果在例1到例
