数学与应用数学毕业论文-一类矩阵秩的恒等式及推广

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1、莆田学院学士学位论文编号莆田学院毕业论文课题名称：一类矩阵秩的恒等式及推广系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级03级指导教师2007年5月莆田学院学士学位论文目录0引言11预备知识12推导过程23主要结论124结束语17参考文献18致谢19莆田学院学士学位论文一类矩阵秩的恒等式及推广摘要在何种条件下，不等式化为等式是当前研究的重点．本文利用矩阵及其初等变换对应到分块矩阵中，使得当在满足一定的条件时，有．【关键词】：秩；矩阵；初等变换；分块阵莆田学院学士学位论文AClassofMatrixRankIdenti

2、tiesandTheirGeneralizationAbstractChangingtheinequalityintoequalityunderwhatconditionisthecurrentresearchkeypoint.Thispaperusestheanditselementaryoperationcorrespondsthepartitionedmatrix,provethatwhensatisfythecertaincondition,wehave．【keywords】rank;matrix;elem

3、entaryoperation;partitionedmatrix莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．学位毕业设计（论文）作者签名：日期：年月日莆田学院学士学位论文莆田学院学士学位毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：

4、所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．指导教师签名：日期：年月日莆田学院学士学位论文0引言目前对不等式推广研究的一个重点是如何将不等式化为等式．在厦大06年的考研试卷中有这样一道试题的充分必要条件是以及北师大的两道习题与的充分必要条件分别是与，而这三题刚好是不等式中不等号化等号的特例．沿着这一研究方向，特别是在参考李书超与王廷明的关于一类矩阵

5、秩的恒等式及证明的基础上，本文对不等式中不等号化等号的推广式进行了证明，在一定程度上改进王廷明的证法，具有更直观更具体意义上的效果．　　本文在引入　、与、在实数域上分解，并且各自对他们所构成的对角阵进行初等变换后得出定理１这个结果及其他定理和推论．1预备知识定义1设P为任意数域，，则．关于定理的证明方法很多，我们可以参考文献[1]．矩阵有初等变换．下面变换叫做矩阵的初等变换：（i）矩阵的两行（列）互换位置，记为（）；（ii）矩阵的某行（列）乘非零常数k,记为（）；（iii）矩阵的某行（列）加上另一行（列）的倍,记为

6、（）而对应分块矩阵的初等变换如下：（i）对调矩阵的两行（列），记为（）：（ii）矩阵分块行（列）乘非退化矩阵,记为（）；（iii）将矩阵的某一行（列）的所有子矩阵左乘一个矩阵加上另一行（列）,记为（）；引理任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵19莆田学院学士学位论文,其中．推论1，当为两两互异的数时，有与等价此结论的证明由引理1显然可得．符号说明：(i)R（A）代表矩阵A的秩；(ii)代表对角矩阵A；2推导过程北京大学数学系几何与代数小组编的《高等代数》（第三版）中有两道习题：习题1：设,则的充分必要条件是习

7、题2：设,则的充分必要条件是通过构造和分块矩阵并分别对他们进行初等变换如下：证明（习题1）构造矩阵和，对它进行初等变换，得相对应的，对，对它进行初等变换19莆田学院学士学位论文故由，有当且仅当，．证明（习题2）构造矩阵和，对它进行初等变换，得相对应的，对，对它进行初等变换故由，有当且仅当，．在知道幂等与对合矩阵的秩有将Sylvester不等式的不等号化为等号的优点后，能否想象如与也具有此优点呢？不妨看如下的例题：例1设,则的充分必要条件是证明构造矩阵和，对它进行初等变换得19莆田学院学士学位论文相对应的，对，对它进

8、行初等变换故由，有当且仅当，．例2　设,则的充分必要条件是证明构造矩阵和，对它进行初等变换，得　19莆田学院学士学位论文相对应的，对，对它进行初等变换故由，有当且仅当，．例3　设,则的充分必要条件是19莆田学院学士学位论文证明构造矩阵和，对它进行初等变换，得相对应的，对，对它进行初等变换19莆田学院学士学位论文故由，有当且仅当，．例4　设,则的充分必要条件是