讲函数可积条件.pdf

《讲函数可积条件.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、精品文档第23讲可积条件及可积函数类授课题目可积条件及可积函数类教学内容1.函数可积的必要条件；2.函数可积的第一、二充要条件；3.可积函数类（最基本三种）；4.黎曼（Rieman）函数的可积性.教学目的通过本次课的教学，使学生能理解函数可积的必要条件，函数可积的第一、二充要条件，学和要求会证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性问题，了解黎曼（Rieman）函数的可积性的证明方法.教学重点教学重点：函数可积的第一、二充要条件，可积函数类（三种）；及难点教学难点：函数可积的第一、二充要条件.教学方法(1)理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点．及教材处(2通过

2、证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性，强化学生对积分第理提示一、二充要条件的理解和掌握.(3关于黎曼（Rieman）函数的可积性的证明只作出一些提示，要求较好学生能理解，在习题课种再讨论.作业布置作业内容：教材P:1，2，3，4.212讲授内容一、可积的必要条件定理9．2若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界．证：用反证法．若f在a,b上无界，则对于a,b的任一分割T，必存在属于T的某个小区间x,f在x上无界．在ik各个小区间上任意取定，并记Gfx.kkiiiiikMG现对任意大的正数M，由于f在上无界

3、，故存在，使得f.kkkkxknMG于是有fxfxfxxGMiikkiixki1ikk由此可见，对于无论多小的T，按上述方法选取点集时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的i正数，这与f在a,b上可积相矛盾．x1,x为有理数0，1例1（有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数D，在上有界但不可积．0,x为无理数证：显然Dx1,x0,1.，对于0，1的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T1欢迎下载。精品文档nn的任一小区间上，当取全为有理数时，Dx

4、x1；当取全为无理数时，iiiiiii1i1nDx0．所以不论T多么小，只要点集取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同iiii1极限，即Dx在0，1上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．二、可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．设Ti1,2,,n为对a,b的任一分割．由f在a,b上

5、有界，它在每个上存在上、下确界：iinnMsupfx,minffx,i1,2,,n.作和STMx,sTmx,分别称为f关于分割iiiiiixxiii1i1T的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,i1,2,,n,，显然有iinsTfxST.与积分和相比较，达布和只与分割T有关，而与点集无关．通过讨论上和iiii1与下和当T0时的极限来揭示f在a,b上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．定理9．3(可积准则)函数f在a,b上可积的充要条件是

6、：任给0,总存在相应的一个分割T，使得STsT设Mm称为f在上的振幅，有必要时也记为f。由于S()iiiiin－sTx(或记为x)，因此可积准则又可改述如下：iiiii1T定理9.3函数f在a,b上可积的充要条件是：任给0，总存在相应的某一分割T，使得xiiT几何意义是：若f在a,b上可积，则包围曲线yfx的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然．三、可积函数类根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)．定理9．4若f为a,b上的连续函数，

7、则f在a,b上可积．2欢迎下载。精品文档证：由于f在闭区间a,b上连续，因此在a,b上一致连续．这就是说，任给0，存在0，对a,b中任意两点xx，只要xx，便有fxfx所以只要对a,b所作的分割T满足`baT，在丁所属的任一小区间上，就能使f的振幅满足Mmsupfxfxiiiiba从而导致xx，由定理9.3，证得f在a,b上可积．iibaiTT定理9．5若f是区间