资源描述：
《关于常微分方程中liouville公式的注记》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第33卷第1期辽宁科技大学学报Vo.l33No.12010年2月JournalofUniversityofScienceandTechnologyLiaoningFeb.,2010关于常微分方程中Liouville公式的注记武力兵,沙秋夫,姜本源(辽宁科技大学理学院,辽宁鞍山114051)摘要:证明了n阶齐次线性微分方程nn-1dxdxdxn+a1(t)n-1++an-1(t)dt+an(t)x=0dtdtt的Liouville公式W(t)=W(t)e-!t0a1(s)ds是一阶齐次线性微分
2、方程组x=A(t)x所对应的Liouville公式0ntW(t)=W(t)e-!t0∀ai(s)ds的特殊情形。0i=1关键词:n阶线性齐次微分方程;一阶齐次线性微分方程组;Liouville公式。中图分类号:O1751文献标识码:A文章编号:16741048(2010)010001041预备知识无论在理论上还是在自然科学与工程技术领域中,常微分方程都发挥着重要的作用,是本科数学类专业的核心基础课程,同时也是非数学类专业所要学习的重要内容,是进一步学习偏微分方程、泛函分[1-3]析及
3、微分几何等后继分析类课程的基础。在常微分方程课程中,高阶线性微分方程和微分方程组理论非常重要,是稳定性理论和控制论的入门知识。其中,有两个著名的Liouville公式,学生在接触时总会产生疑问,同样名称公式,形式上却存在差异。在一般的教材和习题解答中,这两个公式之间的区别与联系并没有明确给出相应解释,只有对Wronsky行列式微分的公式推导,需借助于高等代数知识才[4]可得到相应的公式。学生在学习这两个公式时很吃力,原因多是教师在讲解时忽视了两者之间联系。本文通过一阶齐次线性方程组的Liouvil
4、le公式推导出高阶齐次线性微分方程相应的Liouville公式,得出两个公式之间的相互关系,同时,给出利用Liouville公式求解一类特殊二阶齐次线性微分方程的算例。[1]引理1设xi(t)(i=1,2,,n)是n阶齐次线性微分方程nn-1dxdxdxn+a1(t)n-1++an-1(t)+an(t)x=0dtdtdt的任意n个解。用其构成Wronsky行列式x1(t)x2(t)xn(t)x1(t)x2(t)xn(t)W(t)=,n-1n-1n-1x1(t)x2(t)xn(t
5、)则有关于n阶齐次线性微分方程的Liouville公式t-!t0a1(s)dsW(t)=W(t0)e式中:ai(t)(i=1,2,,n)是区间[a,b]上的连续函数。收稿日期:20091205。作者简介:武力兵(1980-),男,辽宁朝阳人,讲师。%2%辽宁科技大学学报第33卷[1]引理2设xi(t)(i=1,2,,n)是齐次线性微分方程组x=A(t)x的任意n个解,其所构成的Wronsky行列式记为W(t)=det[x1(t),x2(t),,
6、xn(t)],则有关于齐次线性微分方程组的Liouville公式ntW(t)=W(tt0∀aii(s)ds0)e!i=1其中:A(t)是区间[a,b]上的连续n#n矩阵,元素为aij(t)(i,j=1,2,,n)。注记1:引理1与引理2的详细证明可参考文献[5]。2主要结果定理1设xi(t)(i=1,2,,n)是齐次线性微分方程组x=A(t)x的任意n个解,其对应的Liouville公式为ntt0∀aii(s)dsW(t)=W(t0)e!i=1(1)其中:A(t)是区间上[a,b]的连续n
7、#n矩阵,元素为aij(t)(i,j=1,2,,n)。令xi(t)(i=1,2,,n)是n阶齐次线性微分方程nn-1dxdxdxn+a1(t)n-1++an-1(t)+an(t)x=0dtdtdt的任意n个解,其对应另一个Liouville公式-!ta(s)dsW(t)=W(t0)et01(2)其中:ai(t)(i=1,2,,n)是区间[a,b]上的连续函数.若式(1)成立,则式(2)成立。证明:记yi(t)(i=1,2,,n)是n阶齐次线性微分方程nn-1dxdxdxn+a1(t)n-
8、1++an-1(t)+an(t)x=0(3)dtdtdt(n)的任意n个解,对每个i,yi(t),yi(t),,yi(t)在[a,b]上连续且满足微分方程(1)。令(n-1)Txi(t)=yi(t),yi(t),,yi(t)i=1,2,,n.(4)dxi(t)(n)T此外,=yi(t),yi∃(t),,yi(t)由方程(3),有dtnn-1dyi(t)dyi(t)dyi(t)n+a1(t)n-1++an-1(t)+an(t)yi(t)=0dtdtdt则(n)(n-1
