常微分公式方程

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2、常微分方程第一二章考测验试卷(8)班级：学号：姓名：　得分：一．填空题（10分）1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2．当时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。3.方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是，有只含y的积分因子的充要条件是。4．称为伯努利方程，它有积分因子。5．称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经换，可化为伯努利方程。二.求一曲线，是其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。（10分）三.出伯努利方程的积分因子。（15分）四．求下列方程的通解。（45分）1．2.=3．x(4ydx+2xdy)+y(3ydx+5x

3、dy)=04．（y-1-xy）dx+xdy=05．=y+sinx6．(xy+xy)y=17．(x-1)y+y-2xy+1=08.dx+dy=0五．证明题。（20分）（1）一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解（2）齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。

4、参考答案一．填空题。1．=P（x）y+Q(x)ee()2．3．4．e5．y(x)=+z二．解：设曲线的切点为（x,y），设切线的方程为Y-y=y(X-x)，与坐标轴的交点为（0,y-xy），（x-）由题意得：y-xy=x,即=-1令=u得y=ux则=u-1u=-ln+c即=-ln+c方程的通解为y=cx--xl

5、n三．解：伯努利方程为：=P(x)y+Q(x)y两边同乘以y得：y=p(x)y+Q(x)则[p(x)y+Q(x)]dx-ydy=0==(n-1)P(x)则积分因子为=e则ydy=[p(x)y+Q(x)]dx令(x)=y=ye则(x)即为伯努利方程的积分因子。

6、四．1．解：令y=tx则方程化为tx-x(1-tx)=0t-1+tx=0x=-ty=t(-t)=1-tdy=(1-t)d(-t)dy=(1-t)(--2t)dt=(2t-t-)dty=t-t++c则方程的通解为2．解：方程可化为xdy+ydx+ydy+3dy-xdx-dx=0两边积分即得方程的通解为xy++3y--x=c　3．解

7、：用xy乘以方程两边得4xydx+2xydy+3xydx+5xydy=0ydx+xdy+ydx+xdy=0d(xy+xy)=0两边积分即得方程的通解为xy+xy=c4．解：因为==-1则=e=e分别乘方程两边得：e(y-1-xy)dx+exdy=0=exu=xey+=ey-xye+(x)=e(y-1-xy)(x)=-e(x)=e得u=e+xye即方程的通解为e+xye=c5．解：因为方程为线性方程，所以y=e()=e()

8、=e(c-)方程的通解为y=ce-6．解：y=即==两边同乘以xx=xy+y令x=z则-x==-zy-yz=e(+c)z=ce+y-2则=ce+y-2,y=0为方程

9、的通解。7．解：(x)=x为方程的特解，令y(x)=(x)+z为方程的解,则(x-1)(1+)+(x+z)-2x(x+z)+1=0方程可化为（x-1）=-z变量分离得：=dx积分得：=ln+c=ln+c8.解：两边同乘以=0+ydy=0

10、d()+d()=0即方程的通解为：+=c五．证明：（1）设一阶非齐线性方程为=P（x）y+Q(x)）（*）齐线性方程为=P（x）y（**）设y,y为（*）的任意两个解则=P（x）y+Q(x)=P(x)y+Q(x)==P(x)(y-y)y-y为方程（**）的解，命题成立。（2）设y,y为（**）的任意两个解，c为任意常数=cP(x)y=P(x)(cy)

11、=cP(x)y=P(x)(cy)则其方程的常数倍仍为方程（**）的解=P(x)(cy)+P(x)(cy)=P(x)(cy+cy)则cy+cy为方程的解。命题成立。

12、常微分方程第一、二章测验试卷(14)一．填空题：1．当时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或者全微分方程。2.称为一阶线性方程，它有积分因子,其通解　　　　　　　　　　。3.　　　　　　　　　　　称为奇次方程。4.　　　　　　　　　　称为伯努利方程，它有积分因子　　　　　　　　　　。　　　二．求下列方程的解:1.2.3.4.ydx+(y-x)dy=05.xy(y-x)6.求微分方程的通解；7.8．9

13、.求微分方程满足的特解．10．

14、11.12.13.14．求微分方程满足初始条件的特解．答案一、填空题：1.2.y=e(+c)3.4.(n)二．求下列方程的解:1.解:当时，分离变量得等式两端积分得即通解为2.解:令3.解:齐次方程的通解为

15、令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+4.解：令5.解:令得6.解：令则两边积分或者7.解:令，则，代入原方程，得

16、，当时，分离变量，再积分，得，即：8.解:令，则原方程的参数形式为由基本关系式积分得原方