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时间:2020-01-12
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1、欧拉公式–常微分方程2016/2017学年第一学期(16周)在科学与工程技术领域中,常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单形式,是一阶常微分方程的初值问题。我们知道,只要右端函数f(x,y)适当光滑,如关于y满足利普希茨条件理论上就可以保证初值问题的解y=y(x)存在并且唯一。微分方程数值解法在处的导数可以近似地表示成差商用近似地代替,可将初值问题离散化成为即以上公式称为显式欧拉公式。为了不引起混淆表示解在处的精确值,而表示其近似值。显式欧拉公式在显式欧拉公式中,除了外,有和。因此,用显式欧拉公式计
2、算所得到点列的散点图,是一条近似欧拉折线。显式欧拉公式几何意义在处的导数,可以近似表示成差商用代替,代替,可将初值问题离散化成为即以上公式称为隐式欧拉公式。隐式欧拉公式公式(1)和(2)均为欧拉公式,但有本质的区别。式(1)是关于的一个可直接进行的计算公式,这类公式称作显式的;而式(2)的右端含有未知的,它实际上是一个关于的计算方程,这类公式称作隐式的。欧拉公式隐式公式不能直接求解,需采用迭代法求解。用显式欧拉公式提供迭代初值,其迭代公式为:因为这里,L是f(x,y)关于y的利普希茨常数,如果选取h充分小,使得
3、hL<1,则当时,有,这说明以上迭代公式是收敛的。欧拉公式对方程从到积分,得利用数值积分中的梯形公式并将式中的用代替,用代替可导出称此公式为梯形公式。容易看出,梯形公式实际是显式和隐式欧拉公式的算术平均。梯形公式可以不难看到,梯形公式虽然提高了精度,但其算法复杂,在应用迭代公式进行实际计算时,每迭代一次,都要重新计算函数f(x,y)的值,而迭代又要反复进行若干次,计算量很大。为了控制计算量,通常只迭代一次就转入下一步的计算,这样就简化了算法。改进的欧拉公式具体的说,先用显式欧拉公式求得的近似值,称这个值为预报值
4、,预报值的精度可能较差,再将该预报值代入梯形公式,求得,称这个值为校正值,校正值的精度会有所提高,如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。改进的欧拉公式在实际计算中,通常将改进欧拉公式表述称以下形式:预报:校正:改进:改进的欧拉公式例题例:利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值问题,其中步长。解:欧拉计算公式:改进欧拉计算公式:例题解:计算结果如表所示。例题0.00000.0000000.0000000.0000000.0000000.10000.0000000.0048370.005000-0.0001630
5、.20000.0100000.0087310.019025-0.0002940.30000.0290000.0118180.041218-0.0004000.40000.0561000.0142200.070802-0.0004820.50000.0904900.0160410.107076-0.0005450.60000.1314410.0173710.149404-0.000592例题例:利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似值(取)。解:问题等价于求解记,取则于是欧拉计算公式:可得:例题
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