常微分方程数值解法-欧拉方法(1)

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1、课题报告题目：常微分方程的数值解法-欧拉方法院(系)：理学院专业：数学与信息专业指导教师：岳宗敏组员：艾佳欢(组长)邓云娜柏茜钟岩刘磊2015年5月11日常微分方程数值解法-欧拉方法摘要：从常微分方程数值解的基本概念入手，了解最基本的数值解法--欧拉方法。并利用欧拉方法显式隐式的特点探究如何求解微分方程，以及欧拉方法的误差分析及校正。关键词：数值解，欧拉方法，误差，校正ABSTRACT:Fromthebasicconceptofnumericalsolutionofordinarydifferentialequations,andunderstandthemostbasicnumeric

2、alsolutionofeulermethod.Andbyusingeulerexplicitlyimplicitcharacteristicsandexplorehowtosolvedifferentialequationsandtheerroranalysisandcorrectionofeulermethod.KEYWORDS：arithmeticsolution,Euler'smethod,error,revise1.初值问题数值解基本概念初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。在上引入节点称为步长。在多数情况下，采用等步长，即。记准确解为,记的近似

3、值为,记为.一阶常微分方程的初值问题若在内连续，且满足条件：使，则初值问题的连续可微解在上唯一存在，称解在节点处的近似值为其数值解，该方法称为数值方法。2.Euler方法在工程计算中许多实际问题的数学模型都可以用常微分方程来描述。除少常系数线性微分方程和少数特殊的微分方程可用解析方法求解外，大多数常微分方程难以求得其精确解。因此研究常微分方程的数值解法具有重要的意义。本课题研究的是关于常微分方程初值问题的最简单的数值解法，单步法中的一种---Euler方法。92.1显式Euler方法设节点为。初值问题的显式Euler方法为（2.1）其中2.1.1显式Euler方法的导出方法1：Taylo

4、r展开法：将在点进行Taylor展开,得忽略这一阶项,分别用近似，和，得。结合初值条件即得（2.1）。方法2：向前差分近似微分法：用向前差分近似微分，得将近似号改作等号，用近似，，并结合初值条件即得（2.1）。方法3：左矩数值积分法：将（1.1）两边从到积分得用，近似、，数值积分采用左矩公式得，从而亦得（2.1）Euler方法有几何意义，如下图，式（1.1）,(1.2)的解曲线过点9，且具斜率。从出发以为斜率作直线段，交于，显然。式（1.1）过的解曲线具有斜率从出发以为斜率作直线要交于，余类推。这样我们得到一条折线，它在点的右侧具有斜率，与（1.1）过的解曲线相切。我们取折线，作为（1.

5、1）、（1.2）解曲线的近似曲线，所以Euler方法又称折线法。例1取h=0.1，利用Euler公式求解解：欧拉公式的具体形式为:其中，已知，由此式可得:..........依次计算可得，，，，，，，90.20.40.60.81.0数值解1.1918181.3582131.5089661.6497831.784770准确解1.1832161.3416411.4832401.6124521.7320512.2隐式Euler方法和梯形方法若将在展开、忽略项，用和分别近似，及可以得另一计算公式（2.2）（2．2）式称为隐式Enler方法。隐式Euler方法也可以利用向后差分近似微分或用右矩数值

6、求积公式来建立。隐式Euler方法(2.5)给出了要满足的方程，要通过解方程才能得到。在显式和稳式Euler方法中，忽略的项都是项，为了得到更高精确度的方法，我们可将取平均得当三次连续可微时,。忽略项，用分别近似，得（2.3）9（2.3）称为梯形方法。取这个名称的原因是利用梯形求积公式其中表示关于的全微分，忽略数值求积余项也可建立（2.3）。梯形方法也是隐式方法，要通过解（2.3）来得到。显式Euler方法取隐式Euler方法取梯形方法取当在上满足基本条件，关于的Lipschitz常数为时，只要确定了唯一的；同样，只要（2.3）确定了唯一的。以（2.3）为例，当以为变量的函数在上关于满足

7、Lipschitz条件，且Lipschitz常数为从而由压缩不动点定理得方程有唯一点不动而且从任意出发，迭代都收敛到，在实际计算中总希望有较好的，用较少的迭代步，取得有足够精度的例2取h=0.1，利用隐式Euler公式求解解：本题中的，故欧拉格式为9隐式欧拉格式为整理得取h=0.1，计算结果如下表：0.00.20.40.60.81.0欧拉格式1.00001.1918181.3582131.5089661.6497831.784770