第六章 常微分方程数值解(欧拉方法)

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1、6常微分方程数值解法常微分方程欧拉方法龙格-库塔方法引子人口模型（看书上）人口理论一阶常微分方程的初值问题数值解：离散点上的近似值一阶线性常微分方程初值问题数值方法的基本思想在解的存在区间上取n+1个节点利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：y0,y1,…..yn连续离散一阶线性常微分方程初值问题x0x1x2xixi+1xn6.1欧拉方法与Runge-Kutta法一、欧拉(Euler)方法xn=x0+nh，h为步长一.欧拉方法差分和差商用差商代替导数,将微分方程离散化,得到递推公式1.差分方法几何意义：用折线近似曲线y=y

2、(x),欧拉法又称为折线法已知初值y0,依据递推公式逐步算出y1,y2,…,yn,yn+1,递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差2.数值积分方法（也可导出欧拉公式）（1）显式差分格式（单步）显式格式左矩形公式（2）隐式差分格式由右矩形公式想求（近似的）y，但等式的等号左右都有：隐式如还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式思索显式的欧拉公式，好用，粗糙隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程组合之？组合：预报-校正预测-校正公式也叫预报-校正公式改进的欧拉公式例6.1欧拉公式求解f(0,0

3、)的处理（也可以理解为一种近似）表6-1图6-1本身有解析解，可与数值解比较二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假设（重要！即所谓的局部）一阶精度，看书上泰勒公式：关于精度:常微分方程数值方法理论中同阶无穷小精度：p阶类似地，梯形公式/改进的欧拉公式---局部截断误差有二阶精度参考第5章5.1节P66页三、几种差分格式的数值稳定性比较例6.2三种方法的比较注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）有精确解，一起比较看教材例用欧拉法求初值问题补例子：欧拉(Euler)方法当h=0.02时在区间[0,0.10]上的数值解欧拉(Eu

4、ler)方法nxnyny(xn)n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021再补例子：例在区间[0,1.5]上，取h=0.1。（1）用欧拉法计算公式如下：（2）用改进欧拉法计算公式如下：计算要点步长区间改进欧拉法（两步走）前提：欧拉法、梯形法