高斯求积公式及常微分方程初值问题

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1、北京科技大学数理学院卫宏儒Weihr168@yahoo.com.cn科学与工程计算高斯求积公式常见的四个正交多项式P213-217勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔（Laguerre）多项式埃尔米特（Hermite）多项式常微分方程初值问题的数值解法1、基本概念和定理：一阶常微分方程初值问题是：y=f(x,y)(1.1)y(x0)=y0(1.2)其中f是已知的xoy平面上某个区域D上连续函数，式（1.1）是微分方程，有无穷多解，式（1.2）是确定解的初始条件。如一元

2、函数y(x)对一切a≤x≤b满足（1）（x,y(x))∈D（2）y(x0)=y0（3）y存在，且y(x)=f(x,y(x))则称y(x)是初值问题（1.1）、（1.2）在[a,b]上的解。关于初值问题解的存在、唯一及对初始条件的连续依赖性，有下列定理：定理1:设f(x,y)是在D={(x,y)

3、a≤x≤b,c≤y≤d}上的连续函数，其中a，b为有限实数，而且f(x,y)满足对y的lipschitz条件，则对(x0,y0)∈D,初值问题（1.1），（1.2）在[a,b]的解存在且唯一。若y(x)是式（1.

4、1），（1.2）的解，从方程（1.1）两边积分，再利用式（1.2）可得积分方程反之，若y(x)满足积分方程（1.4），可验证它满足（1.1）和（1.2），所以（1.4）式与初值问题（1.1），（1.2）等价,这说明可用积分方程构造初值问题的数值解法。定义3：若一种数值方法的局部截断误差O(hp+1)，则称相应数值方法是p阶方法，其中p为正整数。定义4：设y(x)是初始问题（1.1）的精确解，yn表示用某种数值方法算出的数值解，en=y(xn)-yn称为该方法在xn的整体截断误差。为了研究数值方法的绝对稳定性

5、，下面给出常系数线性差分方程的有关概念。定义5：方程例讨论线性多步法的绝对稳定性条件得到相应的齐次线性差分方程：将应用于实验方程其对应的特征方程为：2、数值解法的构造途径（1）差商代替导数设初值问题(1.1）的准确解y(x)在节点xn之值为y(xn),记y(xn)的近似值为yn，又记fn=f（xn，yn）,则初值问题(1.1）离散化为:它称为（向前）欧拉(Euler)公式。（类似地可以用向后差商、中心差商代替导数产生相应的欧拉(Euler)公式）（2）数值积分法把y´=f(x,y)在[xn,xn+1]积分，

6、得对右端的定积分用数值积分方法做离散化，可得计算公式，如用矩形公式可得欧拉公式，若用梯形公式可得改进的欧拉公式，它也称为梯形公式：（3）Taylor展开法设f(x,y)充分光滑,将y(xn+1)在xn点作Taylor展开:y(xn+1)=y(xn)+hy'(xn)+(h2/2!)y”(xn)+O(h3)取其关于h的线性部分，并用yn代替y(xn),就得到Euler公式。易知Euler公式的局部截断误差为T1=(h2/2!)y”(xn)+O(h3)=O(h2)改进欧拉法的预-校公式Euler公式的几何意义ab

7、Y=y(x)xy0例题：用Euler公式和改进的Euler公式分别求下列初值问题的数值解(取步长h=0.1计算到y3)：y´=-2xy2y(0)=1解：由欧拉公式yn+1=yn+hf(xn,yn)=yn-2hxnyn2计算如下y1=y0-2hx0y02=1-2·0.1·0·12=1y2=y1-2hx1y12=1-2·0.1·0.1·12=0.98y3=y2-2hx2y22=0.98-2·0.1·0.2·0.982=0.9416用改进欧拉法的预-校公式计算如下：计算如下y1=0.99;y2=0.9614;y3

8、=0.9173精确解y(0.1)=0.99,y(0.2)=0.9614;y(0.3)=0.9173可见改进欧拉公式比欧拉公式精度高。3、Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是一种高精度的单步法，简称R-K法。得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开。假设式y'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑，将y(xn+1)在xn点作Taylor展开:（1）基本思想对照标准形式yn+1=yn+hф(xn,yn,h)。若取ф(x,y,h)=y'(x)+(h/2!)y''(x)+.

9、.....+(hp-1/p!)y(p)(x)并以yn代替y(xn)，则得到一个p阶近似公式yn+1=yn+hф(xn,yn,h)(n=0,1,2,......)(*)R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想,即计算f(x,y)在不同结点的函数值,然后作这些函数值的线性组合,构造近似公式,式中有一些可供选择的参数。将近似公式与Taylor展开式相比较,使前面的若干项密合,从而使近似公式达到一定的精度