常微分方程初值问题

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1、第五章常微分方程初值问题引言基本概念Euler方法及其改进1§1引言一、常微分方程的定解问题与应用应用：自然科学领域，如物理；工程技术问题，如石油勘探。常微分方程的定解问题主要有初值问题和边值问题两大类，我们仅考虑初值问题。例：马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在t0时刻的人口p(t0)=p0为已知的，该区域人口的自然增长率为α。人口的增长与人口的总数成正比，所以t时刻的人口总数p(t)满足如下的微分方程：一般地，称这样的方程为模型方程。2二、常微分方程的解法：解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法：给出解的近似表达式。如级数

2、法,逐步逼近法。数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有理论应用价值。三、常微分方程初值问题的数值方法单步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性3§2基本概念一、常微分方程初值问题的一般提法问题:求函数满足其中:f(x,y)为已知函数,α是已知值.(可能是观察值或实验值)(2)(1)基本条件:设f(x,y)在D上连续；f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：其中L为Lipschitz常数。(3)4若f(x,

3、y)在D上满足基本条件,一阶常微分方程初值问题(1),(2)对任意给定的α存在唯一解且在[a,b]上连续可微.定理1关于解y(x)的适定性：定义1方程(1),(2)的解y(x)称为适定的,若存在常数ε>0，K>0,对任意满足条件常微分方程初值问题：存在唯一解z(x),且有摄动(扰动)误差(4)(1),(2)上各加一个摄动(扰动)项.(1),(2)上各加一个摄动(扰动)项.5定理2适定问题的解y(x)连续依赖于(1)式右端的f(x,y)和初值.或者说解y(x)关于(1)式右端的f(x,y)和初值稳定.假设f(x,y)在D上满足基本条件,从而

4、方程(1),(2)的解y(x)存在且适定.注:若f(x,y)在D上满足基本条件,则微分方程(1),(2)的解y(x)是适定的.6假设初值问题(1)的解y=y(x)唯一存在且足够光滑,对求解区域[a,b]做剖分1构造数值解法的基本思想在区间[xk,xk+1]上对方程(1)做积分,则有二、初值问题数值解的基本概念常用等步长:,则有(1)，(2)的准确解记为y(x),称为步长。的近似解记为7因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式称为Euler公式.称为梯形公式.若对*式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式对右边的积分应用左矩形公式，则

5、有8称为Euler中点公式或称双步Euler公式.若在区间[xk-1,xk+1]上对方程(1)做积分,则有对右边的积分应用中矩形求积公式，则得差分公式因此，求初值问题数值解的基本方法是步进法.即逐个节点计算,由yi(ik)计算yk+1步进法单步法:多步法:由yk-j(j=0,1,…,l-1)计算yk+1共用到l个值.即yk+1，yk-1,…,yk-l+1称为l步法。仅由yk计算yk+19单步法与多步法的区别:(1)计算方面:l步方法只用于的计算,即y0，y1,…,yl-1的计算要用其它方法。(2)理论分析:单步法比l>1的多步法容易分析

6、(稳定性).(3)选步长方面:单步法容易改变步长.(4)精度:多步法精度高一些.单步法与多步法均有显式和隐式方法之分.在Euler公式和Euler中点公式中,需计算yk+1的已显式表示,称为显式公式,而梯形公式中,需要计算的yk+1隐含在等式两侧,称其为隐式公式.计算公式依次可抽象写成:显式单步法:隐式单步法:(5)(6)10该式右端项含有因此若求需要解方程。注:显式多步法:隐式多步法:线性多步法:注:(9)关于yk-i,fk-i都是线性的。其中是独立于k和f的常数。(9)是显式(右端不含有yk+1)；则(9)是隐式的。(7)(8)(9)

7、三、微分方程初值问题的数值解法讨论的问题:1.方法构造2.误差分析3.稳定性11§3Euler方法考虑一、显式Euler方法(折线法)1.显式欧拉公式其中fk=f(xk,xk+1).(1)(2)(10)设节点为:a=x0

8、合初始条件即得(10)式。14(3)左矩数值积分法将(1)式两端从xk到xk+1积分，得数值积分采用左矩形公式,即由初始条件亦得(10)式.o类似的152.几何意义o方程(1),(2)的解曲线