常微分方程初值问题数值解法

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1、第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言本章要着重考察的一阶方程的初值问题（1.1）（1.2）只要函数适当光滑——譬如关于满足利普希茨(Lipschitz）条件（1.3）理论上就可以保证初值问题（1.1），（1.2）的解存在并且唯一.1所谓数值解法，就是寻求解在一系列离散节点上的近似值.相邻两个节点的间距称为步长.如不特别说明，总是假定为定数，这时节点为.初值问题（1.1），（1.2）的数值解法的基本特点是采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息计算的递推公式.首先，要对方程（1.1）离散

2、化，建立求数值解的递2推公式.一类是计算时只用到前一点的值，称为单步法.另一类是用到前面点的值，称为步法.其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解与精确解的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.39.2简单的数值方法与基本概念9.2.1欧拉法与后退欧拉法在平面上，微分方程（1.1）的解称作它的积分曲线.积分曲线上一点的切线斜率等于函数的值.如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.基于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上一

3、点，循此前进做出4一条折线（图9-1).一般地，设已做出该折线的顶点，过依方向场的方向再推进到，显然两个顶点的坐标有关系图9-15即（2.1）这就是著名的欧拉（Euler）公式.若初值已知，则依公式（2.1）可逐步算出例1求解初值问题（2.2）6解欧拉公式的具体形式为取步长，计算结果见表9-1.7初值问题（2.2）有解，按这个解析式子算出的准确值同近似值一起列在表9-1中，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差.还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假设，即顶点落在积分曲线上，那么，按欧拉方法做出的折线便是过点的切线（图9-2）.图9-28从图形

4、上看，这样定出的顶点显著地偏离了原来的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的.为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将在处展开，则有在的前提下，.于是可得欧拉法（2.1）的公式误差（2.3）称为此方法的局部截断误差.9如果对方程（1.1）从到积分，得（2.4）右端积分用左矩形公式近似，再以代替代替也得到（2.1），局部截断误差也是（2.3）.如果在（2.4）中右端积分用右矩形公式近似，则得另一个公式（2.5）称为后退的欧拉法.后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于的一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的；10然而公式（2.5）的右端含

5、有未知的，它实际上是关于的一个函数方程，这类公式称作是隐式的.隐式方程（2.5）通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化.设用欧拉公式给出迭代初值，用它代入（2.5）式的右端，使之转化为显式，直接计算得然后再用代入（2.5）式，又有11如此反复进行，得（2.6）由于对满足利普希茨条件（1.3）.由（2.6）减（2.5）得由此可知，只要迭代法（2.6）就收敛到解.关于后退欧拉方法的公式误差，从积分公式看到它与欧拉法是相似的.129.2.2梯形方法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式（2.4）右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替代替，则得

6、（2.7）称为梯形方法.梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解.同后退的欧拉方法一样，仍用欧拉方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为13（2.8）为了分析迭代过程的收敛性，将（2.7）式与（2.8）式相减，得于是有式中为关于的利普希茨常数.14如果选取充分小，使得则当时有，这说明迭代过程（2.8）是收敛的.159.2.3单步法的局部截断误差与阶初值问题(1.1)，(1.2)的单步法可用一般形式表示为（2.9）其中多元函数与有关，当含有时，方法是隐式的，若不含则为显式方法，所以显式单步法可表示为（2.10）称为增量函数，例如对欧拉法（2.1）有它的局

7、部截断误差已由（2.3）给出.16对一般显式单步法则可如下定义.定义1设是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，称（2.11）为显式单步法（2.10）的局部截断误差.之所以称为局部的，是假设在前各步没有误差.当时，计算一步，则有17根据定义，显然欧拉法的局部截断误差即为（2.3）的结果.这里称为局部截断误差主项.显然.的公式误差.所以，局部截断误差可理解为用方法（2.10）计算一步的误差，也即公式（2.10）中用准确解代替数值解产生18定义2设是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，若存在最大整数使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足（2

8、.12）则称方法（2.10）具有阶精度.若将（2.12）展开式写成则称为局部截断误差主项.以上定义对隐式单步法（2.9）也是适用的.19