常微分方程初值问题的数值解法

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1、常微分方程初值问题的数值解法预备知识一阶常微分方程初值问题指的数值解法：在指定的区间[a,b]中的点列xk=x0+k*h(k=0,1,…,n)的近似值yk。即求解函数y(x)一欧拉法二龙格库塔法(R-K)多步法代表是Adams法§1欧拉法1)欧拉法根据导数的定义离散化之后，有：代入常微分方程，并构造迭代系列得：2)隐式欧拉法代入常微分方程，并构造迭代系列得：隐式欧拉法的求解:利用迭代的思路进行.中点欧拉法、改进的欧拉法3)中点欧拉法代入常微分方程，并构造迭代系列得：4)改进的欧拉法欧拉法例题在区间[0，1]上取步长h=0.2求解如下的常微分方程：解：按照欧

2、拉法的计算公式，分别得到如下的函数值：建立高精度的单步递推格式。单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。考察改进的欧拉法，可以将其改写为：斜率一定取K1K2的平均值吗？步长一定是一个h吗？§2龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/§2Runge-KuttaMethod首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开将改进欧拉法推广为：),(),(][121

3、22111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:将K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethodStep3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较要求，则必须有：这里有个未知数，个方程。32存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。注意到，就是改进的欧拉法。Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？其中i(i=1,…,m)，i(i=2,…,m)和ij(i=2,…,m;j=1,…,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。§2Runge-KuttaMethod

4、)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：R-K例题用R-K法求解方程的解（在区间[0，1]，h=0.2）解，有R-K算法有迭代式：=>y[k],k=0,1,2,3,4,5