9、常微分方程初值问题数值解法

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1、§1引言第9章常微分方程初值问题数值解法§2简单的数值方法与基本概念一、欧拉法和后退欧拉法clear;y=1,x=0,%初始化forn=1:10y=1.1*y-0.2*x/y,x=x+0.1,endy=1x=0y=1.1000x=0.1000y=1.1918x=0.2000y=1.2774x=0.3000y=1.3582x=0.4000y=1.4351x=0.5000y=1.5090x=0.6000y=1.5803x=0.7000y=1.6498x=0.8000y=1.7178x=0.9000y=1.7848x=1.0

2、000二、梯形方法三、单步法的局部截断误差与阶四、改进的欧拉公式(预测—校正法)clearx=0,yn=1%初始化forn=1:10yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn);%预测x=x+0.1;yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp);yn=(yp+yc)/2%校正end作业：P381,1,2(1).§3龙格—库塔(Runge-Kutta)法一、显式龙格—库塔法的一般形式二、二阶显式龙格—库塔方法三、三阶与四阶显式R—K方法阶数p和段数r（计算函数值次数）的关系r1234567r≥8p1234456r-2解：h=

3、0.2;x=0:0.2:1;y(1)=1;fori=1:5,k1=y(i)-2*x(i)/y(i);k2=y(i)+h/2*k1-(2*x(i)+h)/(y(i)+h/2*k1);k3=y(i)+h/2*k2-(2*x(i)+h)/(y(i)+h/2*k2);k4=y(i)+h*k3-2*(x(i)+h)/(y(i)+h*k3);y(i+1)=y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);endx,yx=00.20000.40000.60000.80001.0000y=1.00001.18321.34171.4

4、8331.61251.7321四、变步长R—K方法选择步长问题的提出.选择步长问题的两个考虑:怎样衡量和检验计算结果的精度?如何依据所获得的精度处理步长?通过步长加倍或减半处理步长的方法称为变步长方法.作业：P381,2(1),5(1).§4收敛性与稳定性一、收敛性与相容性二、绝对稳定性与绝对稳定性域h=0.025;x=0:0.025:0.1;y1(1)=1;y2(1)=1;fori=1:4y1(i+1)=-1.5*y1(i);endfori=1:4y2(i+1)=y2(i)/3.5;endt=0:0.001:0.1;

5、w=exp(-100*t);plot(x,y1,'+',x,y2,'.',t,w,'-')n=5;h=1/n;x=0:h:1;y(1)=1;fori=1:nk1=-20*y(i);k2=-20*(y(i)+h/2*k1);k3=-20*(y(i)+h/2*k2);k4=-20*(y(i)+h*k3);y(i+1)=y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);endformatshorte;x,y选做：P382,7.§5线性多步法一、线性多步法的一般公式二、Adams显式与隐式公式三、米尔尼方法与辛普森方法（P

6、366）四、汉明方法（P367）五、预测—校正方法（P368）