常微分方程初值问题的数值解法（9）

《常微分方程初值问题的数值解法（9）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第九章常微分方程初值问题的数值解法在微分方程屮，对于问题:(a

2、/(兀,刃)-fix、y2)

3、退一步，能否提供一种合适的方法，求出问题(9—1)在点a=x0

4、<

5、往不能求得，为了求出在XT处的函数值，在(9-2)屮的y(Xk)只好用英近似值yk代替，即用下面的差分方程：(9-3)Yk+i=Yk+hf(Xk，yQy()=n的解(k二0丄・・・,n-l)来代替(9—1)问题在节点x(),X

6、,…，Xn的解。上面公式(9—3)即称为Euler法计算公式。(Xk=xo+kh)［Jy=_例1：用Eulei•法求下述初值问题：dx［y(o)=1在区间［0,0.5］上的数值解(取步长h=0.1),并与准确解对照。解：易知其准确解为：y(x)=e'x+xEuler法的

7、差分方稈如下：［丿如二儿+力(一几+无+1)bo=1计算结果如下：xk0」0.2().30.4().5y(xQ1.0048371.0187311.0708181.0703201.106531yk1.0000001.0100001.0290001.0561001.090490y(xk)-yk0.004837().0087310.0418180.0142200.016041这里y(xQ是在x=xk时的准确值，％是Euler法得到的在x=xk时的值。从上可以看出，随着计算步骤的增加，误差在增加。这里的

8、误差显然是由二个原因造成，一个是由于实际计算中h无法取趋于零这样一个过程，且公式(1-2)已经是近似；其二是在计算时不可避免的有舍入误差。为了改善方法的误差，现在分别讨论这二情况引起的误差的估计。二、Euler方法的收敛性，积累误差估计及稳定性(1)首先我们讨论在没有舍入误差的情况下，Eule「法的误差估计。为方便讨论，我们引入局部截断误差和整体截断误差这二个概念。定义：设y(x)是问题(9—1)的精确解，称:ek+1=y(xk+1)-y(xk)-hf(xk,y(xk))为Eulei•法(9一3

9、)从Xk到Xk+i、这一步的局部截断误差。如果yk+i是差分方程(9—3)的精确解，则称珥+】=y(Xk+i)一『k+i是Euler法关于初值问题(9-1)的整体截断误差。定理1：若y(x)为^=l^-lyk-y(xk)^eL{Xk~a)ISl+£f"x‘丫)(a

10、<+qo}±关于y的Lipschitz常数,xk=a+kh

11、,且a

12、ej/h

13、证明：因为^=y(xk)-yk=¥(^-1，丁(无_1))+勺—必一］一ffg，^-1)5(1+肚)

14、%

15、+閱从而有：

16、乞$(1+仏)

17、零

18、

19、+必依次类推得：

20、ek

21、<(1+hL)k

22、e0

23、+(l+hL)kjEh+・・・+(l+hL)Eh+Eh=(!+//£/

24、^oI+(*—]hLEh由于h=lk_Ll从而可证：Q+hD*严「a),从而有

25、s

26、w/%4(

27、6

28、+£)kL由于在实际计算时一般％二0,又如果知道初值问题的解y(x)具有二阶连续导数，则其局

29、部截断误差ek=y(xk)-y(Xk_J—hf(Xk_],y(Xk_]))此时Euler法的整体截断误(Xk-1

30、yn(x),贝!

31、

32、ek

33、<—h2,从而E<—ha